Уравнение перпендикуляра из точки к плоскости в трёхмерном пространстве
Уравнение перпендикуляра из точки к плоскости — это уравнение прямой, проходящей через точку в направлении нормали к плоскости.
Содержание
Обозначения[править]
Введём обозначения:
[math]\displaystyle{ \bar r=(x,y,z) }[/math] — радиус-вектор точки перпендикуляра;
[math]\displaystyle{ \bar r_0=(x_0,y_0,z_0) }[/math] — радиус-вектор точки;
[math]\displaystyle{ \bar n_1=(A_1,B_1,C_1) }[/math] — нормаль к плоскости;
[math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 }[/math] — уравнение плоскости.
Формулы:[править]
Векторная форма:
- [math]\displaystyle{ \left[\left(\bar r-\bar r_0\right)\times \bar n_1\right]=\bar 0 \Leftrightarrow \bar r=\bar r_0+t\bar n_1 }[/math]
Координатная форма:
- [math]\displaystyle{ \frac{x-x_0}{A_1}=\frac{y-y_0}{B_1}=\frac{z-z_0}{C_1} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x_0+tA_1 \\ y=y_0+tB_1 \\ z=z_0+tC_1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} \bar i & \bar j & \bar k \\ x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ A_1 & B_1 & C_1 \end{vmatrix} =\bar 0 }[/math]
- Заметим, что формулы уравнения перпендикуляра из точки к плоскости аналогичны формулам уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости.
Уравнения прямой:[править]
- уравнение прямой, проходящей через две точки;
- уравнение прямой, равноудалённой от трёх точек;
- уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора;
- уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой;
- уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости;
- уравнение прямой, образованной пересечением двух плоскостей;
- уравнение проекции прямой на плоскость;
- уравнение перпендикуляра из точки к прямой в трёхмерном пространстве;
- уравнение перпендикуляра из точки к плоскости;
- уравнение перпендикуляра к двум прямым.
Литература[править]
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.