Уравнение перпендикуляра из точки к плоскости в трёхмерном пространстве

Уравнение перпендикуляра из точки к плоскости — это уравнение прямой, проходящей через точку в направлении нормали к плоскости.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar r=(x,y,z) }[/math] — радиус-вектор точки перпендикуляра;

[math]\displaystyle{ \bar r_0=(x_0,y_0,z_0) }[/math] — радиус-вектор точки;

[math]\displaystyle{ \bar n_1=(A_1,B_1,C_1) }[/math] — нормаль к плоскости;

[math]\displaystyle{ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 }[/math] — уравнение плоскости.

Формулы:

Векторная форма:

[math]\displaystyle{ \left[\left(\bar r-\bar r_0\right)\times \bar n_1\right]=\bar 0 \Leftrightarrow \bar r=\bar r_0+t\bar n_1 }[/math]

Координатная форма:

[math]\displaystyle{ \frac{x-x_0}{A_1}=\frac{y-y_0}{B_1}=\frac{z-z_0}{C_1} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x_0+tA_1 \\ y=y_0+tB_1 \\ z=z_0+tC_1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} \bar i & \bar j & \bar k \\ x-x_0 & y-y_0 & z-z_0 \\ A_1 & B_1 & C_1 \end{vmatrix} =\bar 0 }[/math]

• Заметим, что формулы уравнения перпендикуляра из точки к плоскости аналогичны формулам уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости.

Уравнения прямой:

• уравнение прямой, проходящей через две точки;
• уравнение прямой, равноудалённой от трёх точек;
• уравнение прямой, проходящей через точку в направлении вектора;
• уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой;
• уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно плоскости;
• уравнение прямой, образованной пересечением двух плоскостей;
• уравнение проекции прямой на плоскость;
• уравнение перпендикуляра из точки к прямой в трёхмерном пространстве;
• уравнение перпендикуляра из точки к плоскости;
• уравнение перпендикуляра к двум прямым.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.