Интерполяционная формула Бесселя

Интерполяция Бесселя — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (2n+1)-у точку) в заданной точке по формуле.

Обозначения:

$x$ − заданная точка;

$B_{n}(x)$ − значение формулы n-ого порядка в точке x;

$(x_{j},y_{j})$ − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n);

$h$ − шаг по оси абсцисс;

$q={\frac {x-x_{0}}{h}}$ − параметр заданной точки (0,25≤q≤0,75);

$x_{j}=x_{0}+jh$ − абсцисса j-той точки (-n≤j≤n);

$y_{j}$ − ордината j-той точки (-n≤j≤n);

$\Delta ^{1}y_{j}={y_{j+1}}-{y_{j}}$ − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n);

$\Delta ^{i}y_{j}={\Delta ^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta ^{i-1}y_{j}}$ − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).

Формула

$B_{2k}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}+\left(q-{\frac {1}{2}}\right)\sum \limits _{i=1}^{k}{{\frac {\prod \limits _{j=0}^{i-1}{\left(q^{2}-j^{2}\right)}}{q\left(q+i-1\right)\left(2i-1\right)!}}\Delta ^{2i-1}y_{-i+1}}+\sum \limits _{i=1}^{k}{{\frac {\prod \limits _{j=0}^{i}\left(q^{2}-j^{2}\right)}{q\left(q+i\right)\left(2i\right)!}}{\frac {\Delta ^{2i}y_{-i}+\Delta ^{2i}y_{-i+1}}{2}}},q={\frac {x-x_{0}}{h}}$

$B_{2k+1}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}+\sum \limits _{i=1}^{k}{{\frac {\prod \limits _{j=0}^{i}\left(q^{2}-j^{2}\right)}{q\left(q+i\right)\left(2i\right)!}}{\frac {\Delta ^{2i}y_{-i}+\Delta ^{2i}y_{-i+1}}{2}}}+\left(q-{\frac {1}{2}}\right)\sum \limits _{i=0}^{k}{\frac {\prod \limits _{j=0}^{i}{\left(q^{2}-j^{2}\right)}\Delta ^{2i+1}y_{-i}}{q\left(q+i\right)\left(2i+1\right)!}},q={\frac {x-x_{0}}{h}}$

• При $q={\frac {1}{2}}$ интерполяционная формула Бесселя упрощается и называется формулой интерполирования на середину.

Примеры формулы

$q={\frac {x-x_{0}}{h}}$

Линейная интерполяция (n=1)

$B_{1}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}+\left(q-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{0}$

$B_{1}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}$

Квадратическая интерполяция (n=2)

$B_{2}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}+\left(q-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{0}+{\frac {q\left(q-1\right)}{2}}{\frac {\Delta ^{2}y_{-1}+\Delta ^{2}y_{0}}{2}}$

$B_{2}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}+\left(q-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{0}+{\frac {q\left(q-1\right)}{4}}\left(\Delta ^{2}y_{-1}+\Delta ^{2}y_{0}\right)$

$B_{2}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q\left(q-1\right)}{4}}\left(\Delta y_{1}-\Delta y_{-1}\right)$

Кубическая интерполяция (n=3)

$B_{3}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}+\left(q-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{0}+{\frac {q\left(q-1\right)}{2}}{\frac {\Delta ^{2}y_{-1}+\Delta ^{2}y_{0}}{2}}+\left(q-{\frac {1}{2}}\right){\frac {q\left(q-1\right)}{6}}\Delta ^{3}y_{-1}$

$B_{3}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}+\left(q-{\frac {1}{2}}\right)\Delta y_{0}+{\frac {q\left(q-1\right)}{4}}\left(\Delta ^{2}y_{-1}+\Delta ^{2}y_{0}\right)+\left(q-{\frac {1}{2}}\right){\frac {q\left(q-1\right)}{6}}\Delta ^{3}y_{-1}$

$B_{3}(x)=y_{0}+q\Delta y_{0}+{\frac {q\left(q-1\right)}{4}}\left(\Delta y_{1}-\Delta y_{-1}\right)+\left(q-{\frac {1}{2}}\right){\frac {q\left(q-1\right)}{6}}\Delta ^{3}y_{-1}$

Другие формулы:

• Линейная интерполяция;
• Интерполяция каноническим многочленом;
• Интерполяционная формула Бесселя;
• Интерполяционная формула Бесселя на середину;
• Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
• Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
• Интерполяционная формула Лагранжа;
• Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
• Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
• Интерполяционная формула Стирлинга.

Литература

• Ермаков В. И. Справочник по математике для экономистов — М.: Высшая школа, 1997, стр.313.