Интерполяционная формула Стирлинга

Интерполяция Стирлинга — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (2n+1)-у точку) в заданной точке по формуле.

Обозначения:

$x$ − заданная точка;

$S_{n}(x)$ − значение формулы n-ого порядка в точке x;

$(x_{j},y_{j})$ − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n);

$h$ − шаг по оси абсцисс;

$q={\frac {x-x_{0}}{h}}$ − параметр заданной точки (0<q≤0,25);

$x_{j}=x_{0}+jh$ − абсцисса j-той точки (-n≤j≤n);

$y_{j}$ − ордината j-той точки (-n≤j≤n);

$\Delta ^{1}y_{j}={y_{j+1}}-{y_{j}}$ − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n);

$\Delta ^{i}y_{j}={\Delta ^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta ^{i-1}y_{j}}$ − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).

Формула

$S_{2k}(x)=y_{0}+q\sum \limits _{i=1}^{k}{{\frac {\prod \limits _{j=1}^{i-1}{\left(q^{2}-j^{2}\right)}}{\left(2i-1\right)!}}{\frac {\Delta ^{2i-1}y_{-i}+\Delta ^{2i-1}y_{-i+1}}{2}}}+q^{2}\sum \limits _{i=1}^{k}{{\frac {\prod \limits _{j=1}^{i-1}{\left(q^{2}-j^{2}\right)}}{\left(2i\right)!}}\Delta ^{2i}y_{-i}},q={\frac {x-x_{0}}{h}}$

$S_{2k+1}(x)=y_{0}+q^{2}\sum \limits _{i=1}^{k}{{\frac {\prod \limits _{j=1}^{i-1}{\left(q^{2}-j^{2}\right)}}{\left(2i\right)!}}\Delta ^{2i}y_{-i}}+{q\sum \limits _{i=0}^{k}{{\frac {\prod \limits _{j=1}^{i-1}{\left(q^{2}-j^{2}\right)}}{\left(2i+1\right)!}}{\frac {\Delta ^{2i+1}y_{-i-1}+\Delta ^{2i+1}y_{-i}}{2}}}},q={\frac {x-x_{0}}{h}}$

• Интерполяционная формула Стирлинга является среднеарифметической первой и второй интерполяционных формул Гаусса.

Примеры формулы

$q={\frac {x-x_{0}}{h}}$

Линейная интерполяция (n=1)

$S_{1}(x)=y_{0}+q{\frac {\Delta y_{-1}+\Delta y_{0}}{2}}$

Квадратическая интерполяция (n=2)

$S_{2}(x)=y_{0}+q{\frac {\Delta y_{-1}+\Delta y_{0}}{2}}+{\frac {q^{2}}{2}}\Delta ^{2}y_{-1}$

Кубическая интерполяция (n=3)

$S_{3}(x)=y_{0}+q{\frac {\Delta y_{-1}+\Delta y_{0}}{2}}+{\frac {q^{2}}{2}}\Delta ^{2}y_{-1}+{\frac {q\left(q^{2}-1\right)}{6}}{\frac {\Delta ^{3}y_{-2}+\Delta ^{3}y_{-1}}{2}}$

Интерполяция многочленом 4-й степени (n=4)

$S_{4}(x)=y_{0}+q{\frac {\Delta y_{-1}+\Delta y_{0}}{2}}+{\frac {q^{2}}{2}}\Delta ^{2}y_{-1}+{\frac {q\left(q^{2}-1\right)}{6}}{\frac {\Delta ^{3}y_{-2}+\Delta ^{3}y_{-1}}{2}}+{\frac {q^{2}\left(q^{2}-1\right)}{24}}\Delta ^{4}y_{-2}$

Интерполяция многочленом 5-й степени (n=5)

$S_{5}(x)=y_{0}+q{\frac {\Delta y_{-1}+\Delta y_{0}}{2}}+{\frac {q^{2}}{2}}\Delta ^{2}y_{-1}+{\frac {q\left(q^{2}-1\right)}{6}}{\frac {\Delta ^{3}y_{-2}+\Delta ^{3}y_{-1}}{2}}+{\frac {q^{2}\left(q^{2}-1\right)}{24}}\Delta ^{4}y_{-2}+{\frac {q\left(q^{2}-1\right)\left(q^{2}-4\right)}{120}}{\frac {\Delta ^{5}y_{-3}+\Delta ^{5}y_{-2}}{2}}$

Интерполяция многочленом 6-й степени (n=6)

$S_{6}(x)=y_{0}+q{\frac {\Delta y_{-1}+\Delta y_{0}}{2}}+{\frac {q^{2}}{2}}\Delta ^{2}y_{-1}+{\frac {q\left(q^{2}-1\right)}{6}}{\frac {\Delta ^{3}y_{-2}+\Delta ^{3}y_{-1}}{2}}+{\frac {q^{2}\left(q^{2}-1\right)}{24}}\Delta ^{4}y_{-2}+{\frac {q\left(q^{2}-1\right)\left(q^{2}-4\right)}{120}}{\frac {\Delta ^{5}y_{-3}+\Delta ^{5}y_{-2}}{2}}+{\frac {q^{2}\left(q^{2}-1\right)\left(q^{2}-4\right)}{720}}\Delta ^{6}y_{-3}$

Другие формулы:

• Линейная интерполяция;
• Интерполяция каноническим многочленом;
• Интерполяционная формула Бесселя;
• Интерполяционная формула Бесселя на середину;
• Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
• Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
• Интерполяционная формула Лагранжа;
• Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
• Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
• Интерполяционная формула Стирлинга.

Литература

• Ермаков В. И. Справочник по математике для экономистов — М.: Высшая школа, 1997, стр.312.