Интерполяционная формула Бесселя на середину

Интерполяция Бесселя на середину — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (2n+1)-у точку) в заданной срединной точке по формуле.

Обозначения:

$x$ − заданная срединная точка;

$B_{n}(x)$ − значение формулы 2n-ого порядка в точке x;

$(x_{j},y_{j})$ − точки (узлы) интерполяции (-n≤j≤n);

$h$ − шаг по оси абсцисс;

$q={\frac {x-x_{0}}{h}}$ − параметр заданной точки (q=0,5);

$x_{j}=x_{0}+jh$ − абсцисса j-той точки (-n≤j≤n);

$y_{j}$ − ордината j-той точки (-n≤j≤n);

$\Delta ^{1}y_{j}={y_{j+1}}-{y_{j}}$ − j-ая конечная разность 1-ого порядка (-n≤j≤n);

$\Delta ^{i}y_{j}={\Delta ^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta ^{i-1}y_{j}}$ − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, -n≤j≤n).

Формула

$B_{n}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}+\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {{\left(-1\right)}^{i}\left[\left(2i-1\right)!!\right]^{2}}{2^{2i}\left(2i\right)!}}{\frac {\Delta ^{2i}y_{-i}+\Delta ^{2i}y_{-i+1}}{2}}$

$B_{n}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}+\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {{\left(-1\right)}^{i}\left[\left(2i-1\right)!!\right]^{2}}{\left(4i\right)!!}}{\frac {\Delta ^{2i}y_{-i}+\Delta ^{2i}y_{-i+1}}{2}}$

$B_{n}(x)={\frac {1}{2}}\left(y_{0}+y_{1}\right)+\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {{\left(-1\right)}^{i}\left[\left(2i-1\right)!!\right]^{2}}{2\left(4i\right)!!}}{\left(\Delta ^{2i-1}y_{-i+2}-\Delta ^{2i-1}y_{-i}\right)}$

$B_{n}(x)=y_{0}+{\frac {1}{2}}\Delta y_{0}+\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {{\left(-1\right)}^{i}\left[\left(2i-1\right)!!\right]^{2}}{2\left(4i\right)!!}}{\left(\Delta ^{2i-1}y_{-i+2}-\Delta ^{2i-1}y_{-i}\right)}$

• Формула интерполирования на середину является частным случаем интерполяционной формулы Бесселя при $q={\frac {1}{2}}$.

Примеры формулы

Квадратическая интерполяция (n=1)

$B_{1}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}-{\frac {1}{8}}{\frac {\Delta ^{2}y_{-1}+\Delta ^{2}y_{0}}{2}}$

$B_{1}(x)={\frac {1}{2}}\left(y_{0}+y_{1}\right)-{\frac {1}{16}}\left(\Delta y_{1}-\Delta y_{-1}\right)$

$B_{1}(x)=y_{0}+{\frac {1}{2}}\Delta y_{0}-{\frac {1}{16}}\left(\Delta y_{1}-\Delta y_{-1}\right)$

Интерполяция многочленом 4-й степени (n=2)

$B_{2}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}-{\frac {1}{8}}{\frac {\Delta ^{2}y_{-1}+\Delta ^{2}y_{0}}{2}}+{\frac {3}{128}}{\frac {\Delta ^{4}y_{-2}+\Delta ^{4}y_{-1}}{2}}$

$B_{2}(x)={\frac {1}{2}}\left(y_{0}+y_{1}\right)-{\frac {1}{16}}\left(\Delta y_{1}-\Delta y_{-1}\right)+{\frac {3}{256}}\left(\Delta ^{3}y_{0}-\Delta ^{3}y_{-2}\right)$

$B_{2}(x)=y_{0}+{\frac {1}{2}}\Delta y_{0}-{\frac {1}{16}}\left(\Delta y_{1}-\Delta y_{-1}\right)+{\frac {3}{256}}\left(\Delta ^{3}y_{0}-\Delta ^{3}y_{-2}\right)$

Интерполяция многочленом 6-й степени (n=3)

$B_{3}(x)={\frac {y_{0}+y_{1}}{2}}-{\frac {1}{8}}{\frac {\Delta ^{2}y_{-1}+\Delta ^{2}y_{0}}{2}}+{\frac {3}{128}}{\frac {\Delta ^{4}y_{-2}+\Delta ^{4}y_{-1}}{2}}-{\frac {5}{1024}}{\frac {\Delta ^{6}y_{-3}+\Delta ^{6}y_{-2}}{2}}$

$B_{3}(x)={\frac {1}{2}}\left(y_{0}+y_{1}\right)-{\frac {1}{16}}\left(\Delta y_{1}-\Delta y_{-1}\right)+{\frac {3}{256}}\left(\Delta ^{3}y_{0}-\Delta ^{3}y_{-2}\right)-{\frac {5}{2048}}\left(\Delta ^{5}y_{-1}-\Delta ^{5}y_{-3}\right)$

$B_{3}(x)=y_{0}+{\frac {1}{2}}\Delta y_{0}-{\frac {1}{16}}\left(\Delta y_{1}-\Delta y_{-1}\right)+{\frac {3}{256}}\left(\Delta ^{3}y_{0}-\Delta ^{3}y_{-2}\right)-{\frac {5}{2048}}\left(\Delta ^{5}y_{-1}-\Delta ^{5}y_{-3}\right)$

Другие формулы:

• Линейная интерполяция;
• Интерполяция каноническим многочленом;
• Интерполяционная формула Бесселя;
• Интерполяционная формула Бесселя на середину;
• Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
• Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
• Интерполяционная формула Лагранжа;
• Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
• Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
• Интерполяционная формула Стирлинга.

Литература

• Ермаков В. И. Справочник по математике для экономистов — М.: Высшая школа, 1997, стр.313.