Интерполяционная формула Лагранжа

Полином Лагранжа (интерполяционный полином Лагранжа) // Andrij [8:10]

Интерполяция с помощью формулы Лагранжа — определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (n + 1)-у точку ((x₁;y₁), …, (x_n;y_n)) в заданной точке x по формуле:

$L_{n}(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}y_{i}\prod \limits _{\begin{smallmatrix}j=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}$

Формула

$L_{n}(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}y_{i}\prod \limits _{\begin{smallmatrix}j=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {(x-x_{j})}{(x_{i}-x_{j})}}$

$L_{n}(x)=y_{0}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})\ldots (x_{0}-x_{n})}}+y_{1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3})\ldots (x-x_{n})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})\ldots (x_{1}-x_{n})}}+$

$+\ldots +y_{i}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{i-1})(x-x_{i+1})\ldots (x-x_{n}))}{(x_{i}-x_{0})(x_{i}-x_{1})\ldots (x_{i}-x_{i-1})(x_{i}-x_{i+1})\ldots (x_{i}-x_{n})}}+\ldots +$

$+y_{n-1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-2})(x-x_{n})}{(x_{n-1}-x_{0})(x_{n-1}-x_{1})\ldots (x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n})}}+y_{n}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})\ldots (x-x_{n-1})}{(x_{n}-x_{0})(x_{n}-x_{1})\ldots (x_{n}-x_{n-1})}}$

Заметим, что формула Лагранжа выражает тот же многочлен n-ой степени, что и канонический многочлен, только в другой форме.

Преимущество формулы Лагранжа состоит в том, что возможно вычисление значения многочлена n-ой степени в любой точке x без трудоёмкого вычисления коэффициентов канонического многочлена.

Примеры формулы

Линейная интерполяция (n=1)

$L_{1}(x)=y_{0}{\frac {(x-x_{1})}{(x_{0}-x_{1})}}+y_{1}{\frac {(x-x_{0})}{(x_{1}-x_{0})}}$

Квадратическая интерполяция (n=2)

$L_{2}(x)=y_{0}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})}}+y_{1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})}}+y_{2}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})}}$

Кубическая интерполяция (n=3)

$L_{3}(x)=y_{0}{\frac {(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{0}-x_{1})(x_{0}-x_{2})(x_{0}-x_{3})}}+y_{1}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{2})(x-x_{3})}{(x_{1}-x_{0})(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})}}+$

$+y_{2}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{3})}{(x_{2}-x_{0})(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{3})}}+y_{3}{\frac {(x-x_{0})(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x_{3}-x_{0})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})}}$

Другие формулы:

• Линейная интерполяция;
• Интерполяция каноническим многочленом;
• Интерполяционная формула Бесселя;
• Интерполяционная формула Бесселя на середину;
• Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
• Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
• Интерполяционная формула Лагранжа;
• Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
• Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
• Интерполяционная формула Стирлинга.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.