Интерполяционная формула Ньютона вперёд

Интерполяция Ньютона вперёд (первая формула) — это определение значений многочлена n-ой степени (проходящего через заданные (n+1)-у точку) в заданной точке по формуле с помощью приращений вперёд.

Обозначения:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} − заданная точка;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_n(x)} − значение многочлена n-ой степени в точке x;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x_j,y_j)} − точки (узлы) интерполяции (j≥0);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h} − шаг по оси абсцисс;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_j= x_0 + jh} − абсцисса j-той точки (j≥0);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y_j} − ордината j-той точки (j≥0);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^1y_j={y_{j+1}}-{y_j}} − j-ая конечная разность 1-ого порядка (j≥0);

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta^iy_j={\Delta^{i-1}y_{j+1}}-{\Delta^{i-1}y_j}} − j-ая конечная разность i-ого порядка (i>1, j≥0).

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_n(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^n\frac{\Delta^iy_0}{i!}\prod\limits_{j=1}^i\left(\frac{x-x_0}{h}-j+1\right)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_n(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^n\frac{\Delta^iy_0}{i!}\prod\limits_{j=1}^i(q-j+1),\ q=\frac{x-x_0}{h}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_n(x)=y_0+\sum\limits_{i=1}^n\frac{\prod\limits_{j=1}^i(q-j+1)}{i!}\Delta^iy_0,\ q=\frac{x-x_0}{h}}

Преимущество первой интерполяционной формулы Ньютона по сравнению с формулой Лагранжа состоит в том, что при изменении степени n у интерполяционного многочлена Ньютона требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых (это удобно на практике), тогда как интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново. На практике применение первой интерполяционной формулы Ньютона удобнее для равноотстоящих узлов или узлов с равными промежутками.

Примеры формулы

Линейная интерполяция (n=1)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_1(x)=y_0+\Delta y_0\frac{x-x_0}{h}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_1(x)=y_0+\Delta y_0q,\ q=\frac{x-x_0}{h}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_1(x)=y_0+q\Delta y_0,\ q=\frac{x-x_0}{h}}

Квадратическая интерполяция (n=2)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_2(x)=y_0+\Delta y_0\frac{x-x_0}{h}+\frac{\Delta^2 y_0}{2!}\frac{x-x_0}{h}\left(\frac{x-x_0}{h}-1\right)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_2(x)=y_0+\Delta y_0q+\frac{\Delta^2 y_0}{2!}q(q-1),\ q=\frac{x-x_0}{h}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_2(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q(q-1)}{2!}\Delta^2 y_0,\ q=\frac{x-x_0}{h}}

Кубическая интерполяция (n=3)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_3(x)=y_0+\Delta y_0\frac{x-x_0}{h}+\frac{\Delta^2 y_0}{2!}\frac{x-x_0}{h}\left(\frac{x-x_0}{h}-1\right)+\frac{\Delta^3 y_0}{3!}\frac{x-x_0}{h}\left(\frac{x-x_0}{h}-1\right)\left(\frac{x-x_0}{h}-2\right)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_3(x)=y_0+\Delta y_0q+\frac{\Delta^2 y_0}{2!}q(q-1)+\frac{\Delta^3 y_0}{3!}q(q-1)(q-2),\ q=\frac{x-x_0}{h}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N_3(x)=y_0+q\Delta y_0+\frac{q(q-1)}{2!}\Delta^2 y_0+\frac{q(q-1)(q-2)}{3!}\Delta^3 y_0,\ q=\frac{x-x_0}{h}}

Другие формулы:

1. Линейная интерполяция;
2. Интерполяция каноническим многочленом;
3. Интерполяционная формула Бесселя;
4. Интерполяционная формула Бесселя на середину;
5. Интерполяционная формула Гаусса вперёд (первая формула);
6. Интерполяционная формула Гаусса назад (вторая формула);
7. Интерполяционная формула Лагранжа;
8. Интерполяционная формула Ньютона вперёд (первая формула);
9. Интерполяционная формула Ньютона назад (вторая формула);
10. Интерполяционная формула Стирлинга.

Литература

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики — М.: Наука, 1970.