Векторное пространство

Что такое линейное пространство // Ирина Аскольдовна Хованская [6:59]

Векторное (линейное) пространство — основное понятие линейной алгебры, обобщение множества всех векторов на плоскости или в пространстве с операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр.

Общая информация

Элементы линейного пространства называются векторами, но не делается никаких предположений относительно природы или происхождения этих элементов. Например, в функциональном анализе рассматриваются топологические векторные пространства, образованные из функций одной или нескольких переменных, а векторы состояния в квантовой механике описывают состояние квантовой системы. Матрицы заданного размера также образуют векторное пространство. Содержание следующих аксиом заключается в том, что независимо от природы элементов векторного пространства, их сложение и умножение на скаляр удовлетворяют правила «школьной алгебры».

В произвольном векторном пространстве не определены операции скалярного, векторного произведения; нормы или метрики. Эти операции могут вводиться как дополнительные структуры. Однако векторные пространства со скалярным или эрмитовым скалярным произведением играют важную роль как в линейной алгебре, так и за ее пределами, см. напр. гильбертово пространство.

Определение

Линейное пространство над полем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{K}}  — это множество Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L \!} элементы которой называются векторами, в которой определены:

• бинарная операция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ L \times L \to L} сложения векторов: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{u},\vec{v})\mapsto \vec{u}+\vec{v}}
• унарная операция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ K \times L \to L} умножения вектора на скаляр: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\lambda,\vec{u}) \mapsto \lambda \vec{u}} удовлетворяющие следующую систему аксиом:
• Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L}  — коммутативная группа относительно операции сложения векторов:
  • Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}} (коммутативность добавления)
  • Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})} (ассоциативность добавления)
  • Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists \vec{0}\in L: \quad \vec{u}+\vec{0}=\vec{u}} (существование нулевого вектора)
  • Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \exists -\vec{u}\in L: \quad \vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}} (существование противоположного вектора)
• ассоциативность и унитарность умножения на скаляры:
  • Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda(\mu \vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u}} (ассоциативность умножения на скаляры)
  • Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1 \cdot u = \vec{u}} (где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ 1} это единица поля Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{K}} )
• дистрибутивность сложения и умножения на скаляр:
  • Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}}
  • Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}}

Связанные определения

• Основными понятиями в линейном пространстве являются: линейная независимость векторов, базис, подпространство.
• Позже в векторное пространство было введено общее понятие модуля над кольцом, в определении которого поле Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{K}} заменено на кольцо Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbb{K}} . Но в линейной алгебре оно не рассматривается из-за проблем с существованием базиса.

См. также

• Аффинное пространство
• Банахово пространство

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.