Одноканальная СМО с очередью

Математическая модель одноканальной СМО с очередью

Одноканальная СМО с очередью — это система массового обслуживания, в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда канал занят, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.

Описание модели

На вход Одноканальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания канала μ.

Если заявка застаёт канал свободным, то она принимается на обслуживание и обслуживается каналом. После окончания обслуживания канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт канал занятым, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, канал свободен;

S₁ – в системе имеется одна заявка, она обслуживается каналом;

S₂ – в системе имеется две заявки, одна обслуживается каналом, а другая заявка ожидает в очереди;

…;

S_r – в системе имеется r-заявок, одна обслуживается каналом, а (r-1)-заявок ожидают в очереди;

S_r+1 – в системе имеется (r+1)-заявок, одна обслуживается каналом, а r-заявок ожидают в очереди;

…;

S_m – в системе имеется m-заявок, одна обслуживается каналом, а (m-1)-заявок ожидают в очереди.

S_m+1 – в системе имеется (m+1)-заявок, одна обслуживается каналом, а m-заявок ожидают в очереди.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,m+1), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_m+1.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

При ρ≠1 получаем

При ρ=1 получаем

Другие одноканальные СМО:

• Одноканальная СМО с отказами;
• Одноканальная СМО с ограниченным временем ожидания;
• Одноканальная СМО замкнутая с очередью;
• Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
• Одноканальная СМО замкнутая без очереди.

Литература

• Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.

Ссылки

• Участник:Logic-samara