Система массового обслуживания

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Лекция 18: Теория массового обслуживания. Системы массового обслуживания // НОУ ИНТУИТ

Система массового обслуживания (СМО) — это система, в которой есть хотя бы один канал обслуживания, поток заявок и поток обслуживаний.

Содержание

[править] Общие сведения

В разных областях человеческой деятельности (в промышленности, науке, торговле, быту) часто возникает массовый спрос на различные услуги. Термин «массовое» предполагает многократную повторяемость и статистическую устойчивость процесса в целом.[1]

Обслуживание — это непосредственное взаимодействие с клиентом, которое направлено на удовлетворение его спроса.

Системой массового обслуживания (СМО) называется система, в которой:

  • возникает массовые требования на выполнения каких-либо видов услуг
  • происходит удовлетворение этих требований — обслуживание[1]

Главной особенностью процессов массового обслуживания является их случайность. Выделяются две взаимодействующие стороны, одна из которых обслуживает, а вторая выступает в качестве обслуживаемой. Присутствие случайности в поведении одной из сторон приводит к случайному протеканию всего процесса обслуживания. Причины случайности заключаются в массовом характере потребностей, а также в случайности работы обслуживающей системы.[1]

[править] Примеры процессов массового обслуживания

  • обслуживание покупателей в сфере мелкооптовой и розничной торговли;
  • транспортное обслуживание;
  • работа телекоммуникационных сетей;
  • медицинское обслуживание;
  • гостиничный бизнес;
  • обслуживание в бистро, кафе, ресторанах;
  • обработка документов в системе управления;
  • туристический бизнес и многие др[1].

[править] Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λi в зависимости от состояния системы.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каналом или каналами μi в зависимости от состояния системы.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

[править] Граф состояний

СМО01.JPG

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Рассмотрим множество состояний системы:

S0 — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S1 — в системе имеется одна заявка, она обслуживается каналами и уходит с определённой интенсивностью;

S2 — в системе имеется две заявки, они обслуживаются каналами и уходят с определённой интенсивностью;

;

Sn — в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;

Sn+1 — в системе имеется (n+1)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;

;

Sn+m-1 — в системе имеется (n+m-1)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;

Sn+m — в системе имеется (n+m)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью.

[править] Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[math]\cases{p_0'(t)=-\lambda_0p_0(t)+\mu_1p_1(t) \\ p_1'(t)=\lambda_0p_0(t)-(\lambda_1+\mu_1)p_1(t)+\mu_2p_2(t) \\ p_2'(t)=\lambda_1p_1(t)-(\lambda_2+\mu_2)p_2(t)+\mu_3p_3(t) \\ \ldots \\ p_n'(t)=\lambda_{n-1}p_{n-1}(t)-(\lambda_n+\mu_n)p_n(t)+\mu_{n+1}p_{n+1}(t) \\ p_{n+1}'(t)=\lambda_np_n(t)-(\lambda_{n+1}+\mu_{n+1})p_{n+1}(t)+\mu_{n+2}p_{n+2}(t) \\ \ldots \\ p_{n+m-1}'(t)=\lambda_{n+m-2}p_{n+m-2}(t)-(\lambda_{n+m-1}+\mu_{n+m-1})p_{n+m-1}(t)+\mu_{n+m}p_{n+m}(t) \\ p_{n+m}'(t)=\lambda_{n+m-1}p_{n+m-1}(t)-\mu_{n+m}p_{n+m}(t) \\ \sum\limits_{i=0}^{n+m}p_i(t)=1 \\ p_0(0)=1, \ p_1(0)=0, \ p_2(0)=0,\ldots, \ p_{n+m}(0)=0 }[/math]

[править] Классификация СМО

[править] По возможности обслуживания:

[править] По наличию очереди:

[править] По времени ожидания в очереди:

[править] По числу заявок в системе:

[править] По характеру обслуживания:

[править] По числу каналов обслуживания:

[править] Основные характеристики СМО

λi — интенсивность простейшего потока оставшихся заявок (без i-заявок);

μi — суммарная интенсивность простейшего потока обслуживаний (работающими каналами) и потока уходов i-заявок;

p0 — вероятность состояния системы, в котором все каналы свободны;

pi — вероятность i-ого состояния системы;

pn — вероятность состояния n-канальной системы, в котором все каналы заняты;

pn+m — вероятность состояния n-канальной системы с m-местами в очереди, в котором все каналы и места в очереди заняты;

q — относительная пропускная способность системы;

A — абсолютная пропускная способность системы;

pпрост — вероятность простоя системы;

pотк — вероятность отказа системы;

pобсл — вероятность обслуживания в системе;

pп.загр — вероятность полной загрузки системы;

pн.загр — вероятность неполной загрузки системы;

pн.очер — вероятность наличия очереди в системе;

p1зан — вероятность занятости, отдельно взятого канала системы;

p1прост — вероятность простоя, отдельно взятого канала системы;

tλ — среднее время между заявками;

tμ — среднее время обслуживания заявки каналом;

tп.загр — среднее время полной загрузки системы;

tн.загр — среднее время неполной загрузки системы;

tн.очер — среднее время наличия очереди в системе;

t1зан — среднее время занятости, отдельно взятого канала системы;

t1прост — среднее время простоя, отдельно взятого канала системы;

tпрост — среднее время простоя системы;

tобсл — среднее время обслуживания заявки в системе;

tочер — среднее время заявки в очереди;

tсист — среднее время нахождения заявки в системе;

s — среднее число заявок на обслуживании;

k — среднее число занятых каналов;

r — среднее число заявок в очереди;

l — среднее число заявок в системе.

[править] Основные типы СМО

[править] Одноканальные СМО

[править] Другие системы

[править] Источники

[править] Литература

  • Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты