Система массового обслуживания
Система массового обслуживания (СМО) — это система, в которой есть хотя бы один канал обслуживания, поток заявок и поток обслуживаний.
Общие сведения[править]
В разных областях человеческой деятельности (в промышленности, науке, торговле, быту) часто возникает массовый спрос на различные услуги. Термин «массовое» предполагает многократную повторяемость и статистическую устойчивость процесса в целом.[1]
Обслуживание — это непосредственное взаимодействие с клиентом, которое направлено на удовлетворение его спроса.
Системой массового обслуживания (СМО) называется система, в которой:
- возникает массовые требования на выполнения каких-либо видов услуг
- происходит удовлетворение этих требований — обслуживание[1]
Главной особенностью процессов массового обслуживания является их случайность. Выделяются две взаимодействующие стороны, одна из которых обслуживает, а вторая выступает в качестве обслуживаемой. Присутствие случайности в поведении одной из сторон приводит к случайному протеканию всего процесса обслуживания. Причины случайности заключаются в массовом характере потребностей, а также в случайности работы обслуживающей системы.[1]
Примеры процессов массового обслуживания[править]
- обслуживание покупателей в сфере мелкооптовой и розничной торговли;
- транспортное обслуживание;
- работа телекоммуникационных сетей;
- медицинское обслуживание;
- гостиничный бизнес;
- обслуживание в бистро, кафе, ресторанах;
- обработка документов в системе управления;
- туристический бизнес и многие др[1].
Описание модели[править]
На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λi в зависимости от состояния системы.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каналом или каналами μi в зависимости от состояния системы.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний[править]
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 — в системе имеется одна заявка, она обслуживается каналами и уходит с определённой интенсивностью;
S2 — в системе имеется две заявки, они обслуживаются каналами и уходят с определённой интенсивностью;
…;
Sn — в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;
Sn+1 — в системе имеется (n+1)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;
…;
Sn+m-1 — в системе имеется (n+m-1)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью;
Sn+m — в системе имеется (n+m)-заявок, они обслуживаются n-каналами и уходят с определённой интенсивностью.
Система дифференциальных уравнений[править]
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Классификация СМО[править]
По возможности обслуживания:[править]
По наличию очереди:[править]
- СМО с очередью;
- СМО без очереди.
По времени ожидания в очереди:[править]
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО с бесконечным временем ожидания.
По числу заявок в системе:[править]
- СМО замкнутые с очередью;
- СМО с бесконечным числом заявок.
По характеру обслуживания:[править]
- СМО с взаимопомощью с очередью;
- СМО без взаимопомощи.
По числу каналов обслуживания:[править]
- одноканальные СМО;
- многоканальные СМО;
- СМО с бесконечным числом каналов.
Основные характеристики СМО[править]
λi — интенсивность простейшего потока оставшихся заявок (без i-заявок);
μi — суммарная интенсивность простейшего потока обслуживаний (работающими каналами) и потока уходов i-заявок;
p0 — вероятность состояния системы, в котором все каналы свободны;
pi — вероятность i-ого состояния системы;
pn — вероятность состояния n-канальной системы, в котором все каналы заняты;
pn+m — вероятность состояния n-канальной системы с m-местами в очереди, в котором все каналы и места в очереди заняты;
q — относительная пропускная способность системы;
A — абсолютная пропускная способность системы;
pпрост — вероятность простоя системы;
pотк — вероятность отказа системы;
pобсл — вероятность обслуживания в системе;
pп.загр — вероятность полной загрузки системы;
pн.загр — вероятность неполной загрузки системы;
pн.очер — вероятность наличия очереди в системе;
p1зан — вероятность занятости, отдельно взятого канала системы;
p1прост — вероятность простоя, отдельно взятого канала системы;
tλ — среднее время между заявками;
tμ — среднее время обслуживания заявки каналом;
tп.загр — среднее время полной загрузки системы;
tн.загр — среднее время неполной загрузки системы;
tн.очер — среднее время наличия очереди в системе;
t1зан — среднее время занятости, отдельно взятого канала системы;
t1прост — среднее время простоя, отдельно взятого канала системы;
tпрост — среднее время простоя системы;
tобсл — среднее время обслуживания заявки в системе;
tочер — среднее время заявки в очереди;
tсист — среднее время нахождения заявки в системе;
s — среднее число заявок на обслуживании;
k — среднее число занятых каналов;
r — среднее число заявок в очереди;
l — среднее число заявок в системе.
Основные типы СМО[править]
- СМО с отказами;
- СМО с очередью;
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО с взаимопомощью с очередью;
- СМО с отказами и взаимопомощью;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО замкнутая без очереди.
Одноканальные СМО[править]
- Одноканальная СМО с отказами;
- Одноканальная СМО с очередью;
- Одноканальная СМО с ограниченным временем ожидания;
- Одноканальная СМО замкнутая с очередью;
- Одноканальная СМО с бесконечной очередью;
- Одноканальная СМО замкнутая без очереди.
Другие системы[править]
Другие разделы[править]
- Теория вероятностей:
- Математическая статистика:
- Статистика:
- Экономическая статистика:
- Случайные процессы:
- Теория игр:
Источники[править]
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Кравченко Владимир Николаевич 5.2 Элементы и классификация систем массового обслуживания.
Литература[править]
- Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания — М.: «Машиностроение», 1969.