СМО с очередью

Многоканальные системы с ожиданием [11:02]

СМО с очередью — это система массового обслуживания, в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.

[править] Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

[править] Граф состояний

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ — в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;

S₂ — в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;

…;

S_k — в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;

…;

S_n — в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;

S_n+1 — в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;

…;

S_n+r — в системе имеется (n+r)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а r-заявок ожидают в очереди;

…;

S_n+m — в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;

[править] Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[math]\cases{p_0'(t)=-\lambda p_0(t)+\mu p_1(t) \\ p_1'(t)=\lambda p_0(t)-(\lambda +\mu)p_1(t)+2\mu p_2(t) \\ p_2'(t)=\lambda p_1(t)-(\lambda +2\mu)p_2(t)+3\mu p_3(t) \\ \ldots \\ p_k'(t)=\lambda p_{k-1}(t)-(\lambda +k\mu)p_k(t)+(k+1)\mu p_{k}(t) \\ p_{k+1}'(t)=\lambda p_{k}(t)-(\lambda +(k+1)\mu)p_{k+1}(t)+(k+2)\mu p_{k+2}(t) \\ \ldots \\ p_{n-1}'(t)=\lambda p_{n-2}(t)-(\lambda +(n-1)\mu)p_{n-1}(t)+n\mu p_{n}(t) \\ p_{n}'(t)=\lambda p_{n-1}(t)-(\lambda + n\mu)p_{n}(t)+n\mu p_{n+1}(t) \\ p_{n+1}'(t)=\lambda p_{n}(t)-(\lambda + n\mu)p_{n+1}(t)+n\mu p_{n+2}(t) \\ \ldots \\ p_{n+r}'(t)=\lambda p_{n+r-1}(t)-(\lambda + n\mu)p_{n+r}(t)+n\mu p_{n+r+1}(t) \\ \ldots \\ p_{n+m-1}'(t)=\lambda p_{n+m-2}(t)-(\lambda +n\mu)p_{n+m-1}(t)+n\mu p_{n+m}(t) \\ p_{n+m}'(t)=\lambda p_{n+m-1}(t)-n\mu p_{n+m}(t) \\ \sum\limits_{i=0}^{n+m}p_i(t)=1 \\ p_0(0)=1, \ p_1(0)=0, \ p_2(0)=0,\ldots, \ p_{n+m}(0)=0 }[/math]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t → ∞).

Система уравнений принимает вид: