СМО с очередью

Многоканальные системы с ожиданием [11:02]

Математическая модель СМО с очередью

СМО с очередью — это система массового обслуживания, в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.

Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ — в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;

S₂ — в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;

…;

S_k — в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;

…;

S_n — в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;

S_n+1 — в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;

…;

S_n+r — в системе имеется (n+r)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а r-заявок ожидают в очереди;

…;

S_n+m — в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

${\begin{cases}p_{0}'(t)=-\lambda p_{0}(t)+\mu p_{1}(t)\\p_{1}'(t)=\lambda p_{0}(t)-(\lambda +\mu )p_{1}(t)+2\mu p_{2}(t)\\p_{2}'(t)=\lambda p_{1}(t)-(\lambda +2\mu )p_{2}(t)+3\mu p_{3}(t)\\\ldots \\p_{k}'(t)=\lambda p_{k-1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)+(k+1)\mu p_{k}(t)\\p_{k+1}'(t)=\lambda p_{k}(t)-(\lambda +(k+1)\mu )p_{k+1}(t)+(k+2)\mu p_{k+2}(t)\\\ldots \\p_{n-1}'(t)=\lambda p_{n-2}(t)-(\lambda +(n-1)\mu )p_{n-1}(t)+n\mu p_{n}(t)\\p_{n}'(t)=\lambda p_{n-1}(t)-(\lambda +n\mu )p_{n}(t)+n\mu p_{n+1}(t)\\p_{n+1}'(t)=\lambda p_{n}(t)-(\lambda +n\mu )p_{n+1}(t)+n\mu p_{n+2}(t)\\\ldots \\p_{n+r}'(t)=\lambda p_{n+r-1}(t)-(\lambda +n\mu )p_{n+r}(t)+n\mu p_{n+r+1}(t)\\\ldots \\p_{n+m-1}'(t)=\lambda p_{n+m-2}(t)-(\lambda +n\mu )p_{n+m-1}(t)+n\mu p_{n+m}(t)\\p_{n+m}'(t)=\lambda p_{n+m-1}(t)-n\mu p_{n+m}(t)\\\sum \limits _{i=0}^{n+m}p_{i}(t)=1\\p_{0}(0)=1,\ p_{1}(0)=0,\ p_{2}(0)=0,\ldots ,\ p_{n+m}(0)=0\end{cases}}$

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t → ∞).

Система уравнений принимает вид:

${\begin{cases}-\lambda p_{0}+\mu p_{1}=0\\\lambda p_{0}-(\lambda +\mu )p_{1}+2\mu p_{2}=0\\\lambda p_{1}-(\lambda +2\mu )p_{2}+3\mu p_{3}=0\\\ldots \\\lambda p_{k-1}-(\lambda +k\mu )p_{k}+(k+1)\mu p_{k+1}=0\\\lambda p_{k}-(\lambda +(k+1)\mu )p_{k+1}+(k+2)\mu p_{k+2}=0\\\ldots \\\lambda p_{n-2}-(\lambda +(n-1)\mu )p_{n-1}+n\mu p_{n}=0\\\lambda p_{n-1}-(\lambda +n\mu )p_{n}+n\mu p_{n+1}=0\\\lambda p_{n}-(\lambda +n\mu )p_{n+1}+n\mu p_{n+2}=0\\\ldots \\\lambda p_{n+m-2}-(\lambda +n\mu )p_{n+m-1}+n\mu p_{n+m}=0\\\lambda p_{n+m-1}-n\mu p_{n+m}=0\\\sum \limits _{i=0}^{n+m}p_{i}=1\end{cases}}$ $\Leftrightarrow$ ${\begin{cases}-\lambda p_{0}+\mu p_{1}=0\\-\lambda p_{1}+2\mu p_{2}=0\\-\lambda p_{2}+3\mu p_{3}=0\\\ldots \\-\lambda p_{k}+(k+1)\mu p_{k+1}=0\\-\lambda p_{k+1}+(k+2)\mu p_{k+2}=0\\\ldots \\-\lambda p_{n-1}+n\mu p_{n}=0\\-\lambda p_{n}+n\mu p_{n+1}=0\\-\lambda p_{n+1}+n\mu p_{n+2}=0\\\ldots \\-\lambda p_{n+m-1}+n\mu p_{n+m}=0\\\lambda p_{n+m-1}-n\mu p_{n+m}=0\\\sum \limits _{i=0}^{n+m}p_{i}=1\end{cases}}$

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_n+m.

${\begin{cases}p_{1}={\frac {\lambda }{\mu }}p_{0}\\p_{2}={\frac {\lambda }{2\mu }}p_{1}\\p_{3}={\frac {\lambda }{3\mu }}p_{2}\\\ldots \\p_{k+1}={\frac {\lambda }{(k+1)\mu }}p_{k}\\p_{k+2}={\frac {\lambda }{(k+2)\mu }}p_{k+1}\\\ldots \\p_{n}={\frac {\lambda }{n)\mu }}p_{n-1}\\p_{n+1}={\frac {\lambda }{n\mu }}p_{n}\\p_{n+2}={\frac {\lambda }{n\mu }}p_{n+1}\\\ldots \\p_{n+m-1}={\frac {\lambda }{n\mu }}p_{n+m-2}\\p_{n+m}={\frac {\lambda }{n\mu }}p_{n+m-1}\\\sum \limits _{i=0}^{n+m}p_{i}=1\end{cases}}$ $\Leftrightarrow$ ${\begin{cases}p_{1}={\frac {\lambda }{\mu }}p_{0}\\p_{2}={\frac {1}{2!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{2}p_{0}\\p_{3}={\frac {1}{3!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{3}p_{0}\\\ldots \\p_{k+1}={\frac {1}{(k+1)!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{k+1}p_{0}\\p_{k+2}={\frac {1}{(k+2)!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{k+2}p_{0}\\\ldots \\p_{n}={\frac {1}{n!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n}p_{0}\\p_{n+1}={\frac {1}{n!n}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n+1}p_{0}\\p_{n+2}={\frac {1}{n!n^{2}}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n+2}p_{0}\\\ldots \\p_{n+m-1}={\frac {1}{n!n^{m-1}}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n+m-1}p_{0}\\p_{n+m}={\frac {1}{n!n^{m}}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n+m}p_{0}\\\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{i}p_{0}+\sum \limits _{i=n+1}^{n+m}{\frac {1}{n!n^{i-n}}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{i}p_{0}=1\end{cases}}$$\Leftrightarrow$${\begin{cases}p_{0}=\left(\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {\lambda ^{i}}{i!\mu ^{i}}}+\sum \limits _{i=n+1}^{n+m}{\frac {\lambda ^{i}}{n!n^{i-n}\mu ^{i}}}\right)^{-1}\\p_{1}={\frac {\lambda }{\mu }}p_{0}\\\ldots \\p_{i}={\frac {\lambda ^{i}}{i!\mu ^{i}}}p_{0}\\\ldots \\p_{n}={\frac {\lambda ^{n}}{n!\mu ^{n}}}p_{0}\\p_{n+1}={\frac {\lambda ^{n+1}}{n!n\mu ^{n+1}}}p_{0}\\\ldots \\p_{n+m-1}={\frac {\lambda ^{n+m-1}}{n!n^{m-1}\mu ^{n+m-1}}}p_{0}\\p_{n+m}={\frac {\lambda ^{n+m}}{n!n^{m}\mu ^{n+m}}}p_{0}\end{cases}}$

В результате получаем решение системы: $p_{0}={\frac {1}{\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {\lambda ^{i}}{i!\mu ^{i}}}+\sum \limits _{i=n+1}^{n+m}{\frac {\lambda ^{i}}{n!n^{i-n}\mu ^{i}}}}},\ p_{i}={\frac {\lambda ^{i}}{i!\mu ^{i}}}p_{0},\forall i\in N_{n},\ p_{n+i}={\frac {\lambda ^{n+i}}{n!n^{i}\mu ^{n+i}}}p_{0},\forall i\in N_{m}$

Основные характеристики системы

$t_{\lambda }={\frac {1}{\lambda }},t_{\mu }={\frac {1}{\mu }},\rho ={\frac {\lambda }{\mu }},\chi ={\frac {\lambda }{n\mu }},$

$p_{0}={\frac {1}{\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {\rho ^{i}}{i!}}+{\frac {\rho ^{n}}{n!}}\sum \limits _{i=1}^{m}{\frac {\rho ^{i}}{n^{i}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {\rho }{1!}}+{\frac {\rho ^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {\rho ^{n}}{n!}}+{\frac {\rho ^{n+1}}{n!n}}+{\frac {\rho ^{n+2}}{n!n^{2}}}+\ldots +{\frac {\rho ^{n+m}}{n!n^{m}}}}},p_{i}={\frac {\rho ^{i}}{i!}}p_{0},\forall i\in N_{n},p_{n+i}={\frac {\rho ^{n+i}}{n!n^{i}}}p_{0}={\frac {\rho ^{i}}{n^{i}}}p_{n}=\chi ^{i}p_{n},\forall i\in N_{m},$

${\bar {s}}={\sum \limits _{i=0}^{n}{ip_{i}}+\sum \limits _{i=1}^{m}{np_{n+i}}}=\rho (1-p_{n+m})=\rho \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),{\bar {r}}=\sum \limits _{i=1}^{m}{ip_{n+i}}=\sum \limits _{i=1}^{m}{i\chi ^{i}p_{n}},{\bar {l}}={\bar {s}}+{\bar {r}}=\sum \limits _{i=1}^{n+m}{ip_{i}}=\rho \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)+\sum \limits _{i=1}^{m}{i\chi ^{i}p_{n}},{\bar {k}}={\bar {s}},$

$q=1-p_{n+m}=1-\chi ^{m}p_{n},A=\lambda (1-p_{n+m})=\lambda \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),$

$p_{\text{прост.}}=p_{0},p_{\text{отк.}}=p_{n+m}=\chi ^{m}p_{n},p_{\text{обсл.}}=1-p_{n+m}=1-\chi ^{m}p_{n},$

$p_{\text{п.загр.}}=\sum \limits _{i=0}^{m}p_{n+i}=\sum \limits _{i=0}^{m}\chi ^{i}p_{n},p_{\text{н.загр.}}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}p_{i}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}{\frac {\rho ^{i}}{i!}}p_{0},=1-p_{n}=1-{\frac {\rho ^{n}}{n!}}p_{0},p_{\text{н.очер.}}=\sum \limits _{i=1}^{m}p_{n+i}=\sum \limits _{i=1}^{m}\chi ^{i}p_{n},$

$p_{\text{1зан.}}={\frac {\bar {k}}{n}}=\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),p_{\text{1прост.}}=1-{\frac {\bar {k}}{n}}=1-\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),$

${\bar {t}}_{\text{н.очер.}}={\bar {t}}_{\lambda }\cdot {\frac {\sum \limits _{i=1}^{m}p_{n+i}}{p_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{m}\chi ^{i}}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{н.загр.}}={\bar {t}}_{n\mu }\cdot {\frac {\sum \limits _{i=0}^{n-1}p_{i}}{p_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n-1}{\frac {\rho ^{i}}{i!}}}{n\mu {\frac {\rho ^{n}}{n!}}}},$

${\bar {t}}_{\text{п.загр.}}={\text{н.загр.}}\cdot {\frac {p_{\text{п.загр.}}}{p_{\text{н.загр.}}}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{m}\chi ^{i}}{n\mu }},{\bar {t}}_{\text{1зан.}}={\bar {t}}_{\mu }+p_{\text{н.очер.}}\cdot {\bar {t}}_{\text{н.очер.}}={\frac {1}{\mu }}+{\frac {1}{\lambda }}\left(\sum \limits _{i=1}^{m}\chi _{i}\right)^{2}p_{n},$

${\bar {t}}_{\text{1прост.}}={\bar {t}}_{\text{1зан.}}\cdot {\frac {p_{\text{1прост.}}}{p_{\text{1зан.}}}}=\left[{\frac {1}{\mu }}+{\frac {1}{\lambda }}\left(\sum \limits _{i=1}^{m}\chi _{i}\right)^{2}p_{n}\right]\cdot {\frac {1-\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)}{\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)}},$

${\bar {t}}_{\text{прост.}}={\bar {t}}_{\lambda }={\frac {1}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{обсл.}}={\bar {t}}_{\lambda }\cdot {\bar {s}}={\frac {\bar {s}}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{очер.}}={\bar {t}}_{\lambda }\cdot {\bar {r}}={\frac {\bar {r}}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{сист.}}={\bar {t}}_{\lambda }\cdot {\bar {l}}={\frac {\bar {l}}{\lambda }}.$

При χ≠1 получаем

$p_{0}={\frac {1}{1+{\frac {\rho }{1!}}+{\frac {\rho ^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {\rho ^{n-1}}{(n-1)!}}+{\frac {\rho ^{n}}{n!}}\cdot {\frac {1-\chi ^{m+1}}{1-\chi }}}},p_{i}={\frac {\rho ^{i}}{i!}}p_{0},\forall i\in N_{n},p_{n+i}=\chi ^{i}p_{n},\forall i\in N_{m},$

${\bar {s}}=\rho \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),{\bar {r}}={\frac {1-(m+1)\chi ^{m}+\chi ^{m+1}}{\left(1-\chi \right)^{2}}}\chi p_{n},{\bar {l}}={\bar {s}}+{\bar {r}}=\rho \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)+{\frac {1-(m+1)\chi ^{m}+\chi ^{m+1}}{\left(1-\chi \right)^{2}}}\chi p_{n},$

${\bar {k}}=\rho \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),q=1-\chi ^{m}p_{n},A=\lambda \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),$

$p_{\text{прост.}}=p_{0},p_{\text{отк.}}=\chi ^{m}p_{n},p_{\text{обсл.}}=1-\chi ^{m}p_{n},$

$p_{\text{п.загр.}}={\frac {1-\chi ^{m+1}}{1-\chi }}p_{n},p_{\text{н.загр.}}=1-{\frac {1-\chi ^{m+1}}{1-\chi }}p_{n},p_{\text{н.очер.}}={\frac {1-\chi ^{m}}{1-\chi }}\chi p_{n},p_{\text{1зан.}}=\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),p_{\text{1прост.}}=1-\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),$

${\bar {t}}_{\text{н.очер.}}={\frac {\chi \left(1-\chi ^{m}\right)}{\lambda \left(1-\chi \right)}}={\frac {1-\chi ^{m}}{n\mu \left(1-\chi \right)}},{\bar {t}}_{\text{н.загр.}}={\frac {1+{\frac {\rho }{1!}}+{\frac {\rho ^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {\rho ^{n-1}}{(n-1)!}}}{n\mu {\frac {\rho ^{n}}{n!}}}},$

${\bar {t}}_{\text{п.загр.}}={\frac {1-\chi ^{m+1}}{n\mu \left(1-\chi \right)}},{\bar {t}}_{\text{1зан.}}={\frac {1}{\mu }}+{\frac {\chi ^{2}\left(1-\chi ^{m}\right)^{2}}{\lambda \left(1-\chi \right)^{2}}}p_{n}={\frac {1}{\mu }}+{\frac {\chi \left(1-\chi ^{m}\right)^{2}}{n\mu \left(1-\chi \right)^{2}}}p_{n},{\bar {t}}_{\text{1прост.}}={\bar {t}}_{\text{1зан.}}\cdot {\frac {1-\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)}{\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)}},$

${\bar {t}}_{\text{прост.}}={\bar {t}}_{\lambda }={\frac {1}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{обсл.}}={\frac {1-\chi ^{m}p_{n}}{\mu }},{\bar {t}}_{\text{очер.}}={\frac {1-(m+1)\chi ^{m}+m\chi ^{m+1}}{n\mu \left(1-\chi \right)^{2}}}p_{n},{\bar {t}}_{\text{сист.}}={\bar {t}}_{\text{обсл.}}+{\bar {t}}_{\text{очер.}}={\frac {1-\chi ^{m}p_{n}}{\mu }}+{\frac {1-(m+1)\chi ^{m}+m\chi ^{m+1}}{n\mu \left(1-\chi \right)^{2}}}p_{n}.$

При χ=1 получаем

$\chi =1\Leftrightarrow \lambda =n\mu \Leftrightarrow \rho =n,$

$p_{0}={\frac {1}{1+{\frac {\rho }{1!}}+{\frac {\rho ^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {\rho ^{n}}{n!}}+m{\frac {\rho ^{n}}{n!}}}},p_{i}={\frac {\rho ^{i}}{i!}}p_{0},\forall i\in N_{n},p_{n+i}=p_{n}={\frac {\rho ^{n}}{n!}}p_{0},\forall i\in N_{m},$

${\bar {s}}=\rho (1-p_{n}),{\bar {r}}={\frac {m(m+1)}{2}}p_{n},{\bar {l}}={\bar {s}}+{\bar {r}}=\rho (1-p_{n})+{\frac {m(m+1)}{2}}p_{n},$

${\bar {k}}={\bar {s}}=\rho (1-p_{n}),q=1-p_{n},A=\lambda (1-p_{n}),$

$p_{\text{прост.}}=p_{0},p_{\text{отк.}}=p_{n},p_{\text{обсл.}}=1-p_{n},$

$p_{\text{п.загр.}}=(m+1)p_{n},p_{\text{н.загр.}}=1-(m+1)p_{n},p_{\text{н.очер.}}=mp_{n},p_{\text{1зан.}}=1-p_{n},p_{\text{1прост.}}=p_{n},$

${\bar {t}}_{\text{н.очер.}}={\frac {m}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{п.загр.}}={\frac {m+1}{n\mu }},{\bar {t}}_{\text{н.загр.}}={\frac {1-(m+1)p_{n}}{n\mu p_{n}}},$

${\bar {t}}_{\text{1зан.}}={\frac {1}{\mu }}+{\frac {m^{2}}{\lambda }}p_{n},{\bar {t}}_{\text{1прост.}}=\left({\frac {1}{\mu }}+{\frac {m^{2}}{\lambda }}p_{n}\right)\cdot {\frac {p_{n}}{1-p_{n}}},$

${\bar {t}}_{\text{прост.}}={\bar {t}}_{\lambda }={\frac {1}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{обсл.}}={\frac {\rho (1-p_{n})}{\lambda }}={\frac {1-p_{n}}{\mu }},{\bar {t}}_{\text{очер.}}={\frac {m(m+1)}{2\lambda }}p_{n},{\bar {t}}_{\text{сист.}}={\frac {1-p_{n}}{\mu }}+{\frac {m(m+1)}{2\lambda }}p_{n}.$

• Заметим, что при n=1 СМО с очередью становится одноканальной.

Другие СМО

• СМО с отказами;
• СМО с ограниченным временем ожидания;
• СМО замкнутая с очередью;
• СМО с взаимопомощью с очередью;
• СМО с отказами и взаимопомощью;
• СМО с бесконечным числом каналов;
• СМО с бесконечной очередью;
• СМО замкнутая без очереди.

Литература

• Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.