VIDEO
Многоканальные системы с ожиданием [11:02]
СМО с очередью — это система массового обслуживания , в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.
Описание модели [ править ]
На вход n -канальной СМО с m -очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ .
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ .
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m .
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m -заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний [ править ]
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 — в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;
S2 — в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;
… ;
Sk — в системе имеется k -заявок, они обслуживаются k -каналами;
… ;
Sn — в системе имеется n -заявок, они обслуживаются n -каналами, очереди нет;
Sn+1 — в системе имеется (n+1) -заявок, n из них обслуживаются n -каналами, а одна заявка ожидает в очереди;
… ;
Sn+r — в системе имеется (n+r) -заявок, n из них обслуживаются n -каналами, а r -заявок ожидают в очереди;
… ;
Sn+m — в системе имеется (n+m) -заявок, n из них обслуживаются n -каналами, а m -заявок ожидают в очереди;
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
{
p
0
′
(
t
)
=
−
λ
p
0
(
t
)
+
μ
p
1
(
t
)
p
1
′
(
t
)
=
λ
p
0
(
t
)
−
(
λ
+
μ
)
p
1
(
t
)
+
2
μ
p
2
(
t
)
p
2
′
(
t
)
=
λ
p
1
(
t
)
−
(
λ
+
2
μ
)
p
2
(
t
)
+
3
μ
p
3
(
t
)
…
p
k
′
(
t
)
=
λ
p
k
−
1
(
t
)
−
(
λ
+
k
μ
)
p
k
(
t
)
+
(
k
+
1
)
μ
p
k
(
t
)
p
k
+
1
′
(
t
)
=
λ
p
k
(
t
)
−
(
λ
+
(
k
+
1
)
μ
)
p
k
+
1
(
t
)
+
(
k
+
2
)
μ
p
k
+
2
(
t
)
…
p
n
−
1
′
(
t
)
=
λ
p
n
−
2
(
t
)
−
(
λ
+
(
n
−
1
)
μ
)
p
n
−
1
(
t
)
+
n
μ
p
n
(
t
)
p
n
′
(
t
)
=
λ
p
n
−
1
(
t
)
−
(
λ
+
n
μ
)
p
n
(
t
)
+
n
μ
p
n
+
1
(
t
)
p
n
+
1
′
(
t
)
=
λ
p
n
(
t
)
−
(
λ
+
n
μ
)
p
n
+
1
(
t
)
+
n
μ
p
n
+
2
(
t
)
…
p
n
+
r
′
(
t
)
=
λ
p
n
+
r
−
1
(
t
)
−
(
λ
+
n
μ
)
p
n
+
r
(
t
)
+
n
μ
p
n
+
r
+
1
(
t
)
…
p
n
+
m
−
1
′
(
t
)
=
λ
p
n
+
m
−
2
(
t
)
−
(
λ
+
n
μ
)
p
n
+
m
−
1
(
t
)
+
n
μ
p
n
+
m
(
t
)
p
n
+
m
′
(
t
)
=
λ
p
n
+
m
−
1
(
t
)
−
n
μ
p
n
+
m
(
t
)
∑
i
=
0
n
+
m
p
i
(
t
)
=
1
p
0
(
0
)
=
1
,
p
1
(
0
)
=
0
,
p
2
(
0
)
=
0
,
…
,
p
n
+
m
(
0
)
=
0
{\displaystyle {\begin{cases}p_{0}'(t)=-\lambda p_{0}(t)+\mu p_{1}(t)\\p_{1}'(t)=\lambda p_{0}(t)-(\lambda +\mu )p_{1}(t)+2\mu p_{2}(t)\\p_{2}'(t)=\lambda p_{1}(t)-(\lambda +2\mu )p_{2}(t)+3\mu p_{3}(t)\\\ldots \\p_{k}'(t)=\lambda p_{k-1}(t)-(\lambda +k\mu )p_{k}(t)+(k+1)\mu p_{k}(t)\\p_{k+1}'(t)=\lambda p_{k}(t)-(\lambda +(k+1)\mu )p_{k+1}(t)+(k+2)\mu p_{k+2}(t)\\\ldots \\p_{n-1}'(t)=\lambda p_{n-2}(t)-(\lambda +(n-1)\mu )p_{n-1}(t)+n\mu p_{n}(t)\\p_{n}'(t)=\lambda p_{n-1}(t)-(\lambda +n\mu )p_{n}(t)+n\mu p_{n+1}(t)\\p_{n+1}'(t)=\lambda p_{n}(t)-(\lambda +n\mu )p_{n+1}(t)+n\mu p_{n+2}(t)\\\ldots \\p_{n+r}'(t)=\lambda p_{n+r-1}(t)-(\lambda +n\mu )p_{n+r}(t)+n\mu p_{n+r+1}(t)\\\ldots \\p_{n+m-1}'(t)=\lambda p_{n+m-2}(t)-(\lambda +n\mu )p_{n+m-1}(t)+n\mu p_{n+m}(t)\\p_{n+m}'(t)=\lambda p_{n+m-1}(t)-n\mu p_{n+m}(t)\\\sum \limits _{i=0}^{n+m}p_{i}(t)=1\\p_{0}(0)=1,\ p_{1}(0)=0,\ p_{2}(0)=0,\ldots ,\ p_{n+m}(0)=0\end{cases}}}
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t → ∞ ).
Система уравнений принимает вид:
{
−
λ
p
0
+
μ
p
1
=
0
λ
p
0
−
(
λ
+
μ
)
p
1
+
2
μ
p
2
=
0
λ
p
1
−
(
λ
+
2
μ
)
p
2
+
3
μ
p
3
=
0
…
λ
p
k
−
1
−
(
λ
+
k
μ
)
p
k
+
(
k
+
1
)
μ
p
k
+
1
=
0
λ
p
k
−
(
λ
+
(
k
+
1
)
μ
)
p
k
+
1
+
(
k
+
2
)
μ
p
k
+
2
=
0
…
λ
p
n
−
2
−
(
λ
+
(
n
−
1
)
μ
)
p
n
−
1
+
n
μ
p
n
=
0
λ
p
n
−
1
−
(
λ
+
n
μ
)
p
n
+
n
μ
p
n
+
1
=
0
λ
p
n
−
(
λ
+
n
μ
)
p
n
+
1
+
n
μ
p
n
+
2
=
0
…
λ
p
n
+
m
−
2
−
(
λ
+
n
μ
)
p
n
+
m
−
1
+
n
μ
p
n
+
m
=
0
λ
p
n
+
m
−
1
−
n
μ
p
n
+
m
=
0
∑
i
=
0
n
+
m
p
i
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}-\lambda p_{0}+\mu p_{1}=0\\\lambda p_{0}-(\lambda +\mu )p_{1}+2\mu p_{2}=0\\\lambda p_{1}-(\lambda +2\mu )p_{2}+3\mu p_{3}=0\\\ldots \\\lambda p_{k-1}-(\lambda +k\mu )p_{k}+(k+1)\mu p_{k+1}=0\\\lambda p_{k}-(\lambda +(k+1)\mu )p_{k+1}+(k+2)\mu p_{k+2}=0\\\ldots \\\lambda p_{n-2}-(\lambda +(n-1)\mu )p_{n-1}+n\mu p_{n}=0\\\lambda p_{n-1}-(\lambda +n\mu )p_{n}+n\mu p_{n+1}=0\\\lambda p_{n}-(\lambda +n\mu )p_{n+1}+n\mu p_{n+2}=0\\\ldots \\\lambda p_{n+m-2}-(\lambda +n\mu )p_{n+m-1}+n\mu p_{n+m}=0\\\lambda p_{n+m-1}-n\mu p_{n+m}=0\\\sum \limits _{i=0}^{n+m}p_{i}=1\end{cases}}}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
−
λ
p
0
+
μ
p
1
=
0
−
λ
p
1
+
2
μ
p
2
=
0
−
λ
p
2
+
3
μ
p
3
=
0
…
−
λ
p
k
+
(
k
+
1
)
μ
p
k
+
1
=
0
−
λ
p
k
+
1
+
(
k
+
2
)
μ
p
k
+
2
=
0
…
−
λ
p
n
−
1
+
n
μ
p
n
=
0
−
λ
p
n
+
n
μ
p
n
+
1
=
0
−
λ
p
n
+
1
+
n
μ
p
n
+
2
=
0
…
−
λ
p
n
+
m
−
1
+
n
μ
p
n
+
m
=
0
λ
p
n
+
m
−
1
−
n
μ
p
n
+
m
=
0
∑
i
=
0
n
+
m
p
i
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}-\lambda p_{0}+\mu p_{1}=0\\-\lambda p_{1}+2\mu p_{2}=0\\-\lambda p_{2}+3\mu p_{3}=0\\\ldots \\-\lambda p_{k}+(k+1)\mu p_{k+1}=0\\-\lambda p_{k+1}+(k+2)\mu p_{k+2}=0\\\ldots \\-\lambda p_{n-1}+n\mu p_{n}=0\\-\lambda p_{n}+n\mu p_{n+1}=0\\-\lambda p_{n+1}+n\mu p_{n+2}=0\\\ldots \\-\lambda p_{n+m-1}+n\mu p_{n+m}=0\\\lambda p_{n+m-1}-n\mu p_{n+m}=0\\\sum \limits _{i=0}^{n+m}p_{i}=1\end{cases}}}
Суммируя в системе уравнения с первого до i -го (i=1,n+m ), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0 ,p1 ,…,pn+m .
{
p
1
=
λ
μ
p
0
p
2
=
λ
2
μ
p
1
p
3
=
λ
3
μ
p
2
…
p
k
+
1
=
λ
(
k
+
1
)
μ
p
k
p
k
+
2
=
λ
(
k
+
2
)
μ
p
k
+
1
…
p
n
=
λ
n
)
μ
p
n
−
1
p
n
+
1
=
λ
n
μ
p
n
p
n
+
2
=
λ
n
μ
p
n
+
1
…
p
n
+
m
−
1
=
λ
n
μ
p
n
+
m
−
2
p
n
+
m
=
λ
n
μ
p
n
+
m
−
1
∑
i
=
0
n
+
m
p
i
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}p_{1}={\frac {\lambda }{\mu }}p_{0}\\p_{2}={\frac {\lambda }{2\mu }}p_{1}\\p_{3}={\frac {\lambda }{3\mu }}p_{2}\\\ldots \\p_{k+1}={\frac {\lambda }{(k+1)\mu }}p_{k}\\p_{k+2}={\frac {\lambda }{(k+2)\mu }}p_{k+1}\\\ldots \\p_{n}={\frac {\lambda }{n)\mu }}p_{n-1}\\p_{n+1}={\frac {\lambda }{n\mu }}p_{n}\\p_{n+2}={\frac {\lambda }{n\mu }}p_{n+1}\\\ldots \\p_{n+m-1}={\frac {\lambda }{n\mu }}p_{n+m-2}\\p_{n+m}={\frac {\lambda }{n\mu }}p_{n+m-1}\\\sum \limits _{i=0}^{n+m}p_{i}=1\end{cases}}}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
p
1
=
λ
μ
p
0
p
2
=
1
2
!
(
λ
μ
)
2
p
0
p
3
=
1
3
!
(
λ
μ
)
3
p
0
…
p
k
+
1
=
1
(
k
+
1
)
!
(
λ
μ
)
k
+
1
p
0
p
k
+
2
=
1
(
k
+
2
)
!
(
λ
μ
)
k
+
2
p
0
…
p
n
=
1
n
!
(
λ
μ
)
n
p
0
p
n
+
1
=
1
n
!
n
(
λ
μ
)
n
+
1
p
0
p
n
+
2
=
1
n
!
n
2
(
λ
μ
)
n
+
2
p
0
…
p
n
+
m
−
1
=
1
n
!
n
m
−
1
(
λ
μ
)
n
+
m
−
1
p
0
p
n
+
m
=
1
n
!
n
m
(
λ
μ
)
n
+
m
p
0
∑
i
=
0
n
1
i
!
(
λ
μ
)
i
p
0
+
∑
i
=
n
+
1
n
+
m
1
n
!
n
i
−
n
(
λ
μ
)
i
p
0
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}p_{1}={\frac {\lambda }{\mu }}p_{0}\\p_{2}={\frac {1}{2!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{2}p_{0}\\p_{3}={\frac {1}{3!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{3}p_{0}\\\ldots \\p_{k+1}={\frac {1}{(k+1)!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{k+1}p_{0}\\p_{k+2}={\frac {1}{(k+2)!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{k+2}p_{0}\\\ldots \\p_{n}={\frac {1}{n!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n}p_{0}\\p_{n+1}={\frac {1}{n!n}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n+1}p_{0}\\p_{n+2}={\frac {1}{n!n^{2}}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n+2}p_{0}\\\ldots \\p_{n+m-1}={\frac {1}{n!n^{m-1}}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n+m-1}p_{0}\\p_{n+m}={\frac {1}{n!n^{m}}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{n+m}p_{0}\\\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{i}p_{0}+\sum \limits _{i=n+1}^{n+m}{\frac {1}{n!n^{i-n}}}\left({\frac {\lambda }{\mu }}\right)^{i}p_{0}=1\end{cases}}}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
{
p
0
=
(
∑
i
=
0
n
λ
i
i
!
μ
i
+
∑
i
=
n
+
1
n
+
m
λ
i
n
!
n
i
−
n
μ
i
)
−
1
p
1
=
λ
μ
p
0
…
p
i
=
λ
i
i
!
μ
i
p
0
…
p
n
=
λ
n
n
!
μ
n
p
0
p
n
+
1
=
λ
n
+
1
n
!
n
μ
n
+
1
p
0
…
p
n
+
m
−
1
=
λ
n
+
m
−
1
n
!
n
m
−
1
μ
n
+
m
−
1
p
0
p
n
+
m
=
λ
n
+
m
n
!
n
m
μ
n
+
m
p
0
{\displaystyle {\begin{cases}p_{0}=\left(\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {\lambda ^{i}}{i!\mu ^{i}}}+\sum \limits _{i=n+1}^{n+m}{\frac {\lambda ^{i}}{n!n^{i-n}\mu ^{i}}}\right)^{-1}\\p_{1}={\frac {\lambda }{\mu }}p_{0}\\\ldots \\p_{i}={\frac {\lambda ^{i}}{i!\mu ^{i}}}p_{0}\\\ldots \\p_{n}={\frac {\lambda ^{n}}{n!\mu ^{n}}}p_{0}\\p_{n+1}={\frac {\lambda ^{n+1}}{n!n\mu ^{n+1}}}p_{0}\\\ldots \\p_{n+m-1}={\frac {\lambda ^{n+m-1}}{n!n^{m-1}\mu ^{n+m-1}}}p_{0}\\p_{n+m}={\frac {\lambda ^{n+m}}{n!n^{m}\mu ^{n+m}}}p_{0}\end{cases}}}
В результате получаем решение системы:
p
0
=
1
∑
i
=
0
n
λ
i
i
!
μ
i
+
∑
i
=
n
+
1
n
+
m
λ
i
n
!
n
i
−
n
μ
i
,
p
i
=
λ
i
i
!
μ
i
p
0
,
∀
i
∈
N
n
,
p
n
+
i
=
λ
n
+
i
n
!
n
i
μ
n
+
i
p
0
,
∀
i
∈
N
m
{\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {\lambda ^{i}}{i!\mu ^{i}}}+\sum \limits _{i=n+1}^{n+m}{\frac {\lambda ^{i}}{n!n^{i-n}\mu ^{i}}}}},\ p_{i}={\frac {\lambda ^{i}}{i!\mu ^{i}}}p_{0},\forall i\in N_{n},\ p_{n+i}={\frac {\lambda ^{n+i}}{n!n^{i}\mu ^{n+i}}}p_{0},\forall i\in N_{m}}
Основные характеристики системы [ править ]
t
λ
=
1
λ
,
t
μ
=
1
μ
,
ρ
=
λ
μ
,
χ
=
λ
n
μ
,
{\displaystyle t_{\lambda }={\frac {1}{\lambda }},t_{\mu }={\frac {1}{\mu }},\rho ={\frac {\lambda }{\mu }},\chi ={\frac {\lambda }{n\mu }},}
p
0
=
1
∑
i
=
0
n
ρ
i
i
!
+
ρ
n
n
!
∑
i
=
1
m
ρ
i
n
i
=
1
1
+
ρ
1
!
+
ρ
2
2
!
+
…
+
ρ
n
n
!
+
ρ
n
+
1
n
!
n
+
ρ
n
+
2
n
!
n
2
+
…
+
ρ
n
+
m
n
!
n
m
,
p
i
=
ρ
i
i
!
p
0
,
∀
i
∈
N
n
,
p
n
+
i
=
ρ
n
+
i
n
!
n
i
p
0
=
ρ
i
n
i
p
n
=
χ
i
p
n
,
∀
i
∈
N
m
,
{\displaystyle p_{0}={\frac {1}{\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {\rho ^{i}}{i!}}+{\frac {\rho ^{n}}{n!}}\sum \limits _{i=1}^{m}{\frac {\rho ^{i}}{n^{i}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {\rho }{1!}}+{\frac {\rho ^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {\rho ^{n}}{n!}}+{\frac {\rho ^{n+1}}{n!n}}+{\frac {\rho ^{n+2}}{n!n^{2}}}+\ldots +{\frac {\rho ^{n+m}}{n!n^{m}}}}},p_{i}={\frac {\rho ^{i}}{i!}}p_{0},\forall i\in N_{n},p_{n+i}={\frac {\rho ^{n+i}}{n!n^{i}}}p_{0}={\frac {\rho ^{i}}{n^{i}}}p_{n}=\chi ^{i}p_{n},\forall i\in N_{m},}
s
¯
=
∑
i
=
0
n
i
p
i
+
∑
i
=
1
m
n
p
n
+
i
=
ρ
(
1
−
p
n
+
m
)
=
ρ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
r
¯
=
∑
i
=
1
m
i
p
n
+
i
=
∑
i
=
1
m
i
χ
i
p
n
,
l
¯
=
s
¯
+
r
¯
=
∑
i
=
1
n
+
m
i
p
i
=
ρ
(
1
−
χ
m
p
n
)
+
∑
i
=
1
m
i
χ
i
p
n
,
k
¯
=
s
¯
,
{\displaystyle {\bar {s}}={\sum \limits _{i=0}^{n}{ip_{i}}+\sum \limits _{i=1}^{m}{np_{n+i}}}=\rho (1-p_{n+m})=\rho \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),{\bar {r}}=\sum \limits _{i=1}^{m}{ip_{n+i}}=\sum \limits _{i=1}^{m}{i\chi ^{i}p_{n}},{\bar {l}}={\bar {s}}+{\bar {r}}=\sum \limits _{i=1}^{n+m}{ip_{i}}=\rho \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)+\sum \limits _{i=1}^{m}{i\chi ^{i}p_{n}},{\bar {k}}={\bar {s}},}
q
=
1
−
p
n
+
m
=
1
−
χ
m
p
n
,
A
=
λ
(
1
−
p
n
+
m
)
=
λ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
{\displaystyle q=1-p_{n+m}=1-\chi ^{m}p_{n},A=\lambda (1-p_{n+m})=\lambda \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),}
p
прост.
=
p
0
,
p
отк.
=
p
n
+
m
=
χ
m
p
n
,
p
обсл.
=
1
−
p
n
+
m
=
1
−
χ
m
p
n
,
{\displaystyle p_{\text{прост.}}=p_{0},p_{\text{отк.}}=p_{n+m}=\chi ^{m}p_{n},p_{\text{обсл.}}=1-p_{n+m}=1-\chi ^{m}p_{n},}
p
п.загр.
=
∑
i
=
0
m
p
n
+
i
=
∑
i
=
0
m
χ
i
p
n
,
p
н.загр.
=
∑
i
=
0
n
−
1
p
i
=
∑
i
=
0
n
−
1
ρ
i
i
!
p
0
,
=
1
−
p
n
=
1
−
ρ
n
n
!
p
0
,
p
н.очер.
=
∑
i
=
1
m
p
n
+
i
=
∑
i
=
1
m
χ
i
p
n
,
{\displaystyle p_{\text{п.загр.}}=\sum \limits _{i=0}^{m}p_{n+i}=\sum \limits _{i=0}^{m}\chi ^{i}p_{n},p_{\text{н.загр.}}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}p_{i}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}{\frac {\rho ^{i}}{i!}}p_{0},=1-p_{n}=1-{\frac {\rho ^{n}}{n!}}p_{0},p_{\text{н.очер.}}=\sum \limits _{i=1}^{m}p_{n+i}=\sum \limits _{i=1}^{m}\chi ^{i}p_{n},}
p
1зан.
=
k
¯
n
=
χ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
p
1прост.
=
1
−
k
¯
n
=
1
−
χ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
{\displaystyle p_{\text{1зан.}}={\frac {\bar {k}}{n}}=\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),p_{\text{1прост.}}=1-{\frac {\bar {k}}{n}}=1-\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),}
t
¯
н.очер.
=
t
¯
λ
⋅
∑
i
=
1
m
p
n
+
i
p
n
=
∑
i
=
1
m
χ
i
λ
,
t
¯
н.загр.
=
t
¯
n
μ
⋅
∑
i
=
0
n
−
1
p
i
p
n
=
∑
i
=
0
n
−
1
ρ
i
i
!
n
μ
ρ
n
n
!
,
{\displaystyle {\bar {t}}_{\text{н.очер.}}={\bar {t}}_{\lambda }\cdot {\frac {\sum \limits _{i=1}^{m}p_{n+i}}{p_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=1}^{m}\chi ^{i}}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{н.загр.}}={\bar {t}}_{n\mu }\cdot {\frac {\sum \limits _{i=0}^{n-1}p_{i}}{p_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n-1}{\frac {\rho ^{i}}{i!}}}{n\mu {\frac {\rho ^{n}}{n!}}}},}
t
¯
п.загр.
=
н.загр.
⋅
p
п.загр.
p
н.загр.
=
∑
i
=
0
m
χ
i
n
μ
,
t
¯
1зан.
=
t
¯
μ
+
p
н.очер.
⋅
t
¯
н.очер.
=
1
μ
+
1
λ
(
∑
i
=
1
m
χ
i
)
2
p
n
,
{\displaystyle {\bar {t}}_{\text{п.загр.}}={\text{н.загр.}}\cdot {\frac {p_{\text{п.загр.}}}{p_{\text{н.загр.}}}}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{m}\chi ^{i}}{n\mu }},{\bar {t}}_{\text{1зан.}}={\bar {t}}_{\mu }+p_{\text{н.очер.}}\cdot {\bar {t}}_{\text{н.очер.}}={\frac {1}{\mu }}+{\frac {1}{\lambda }}\left(\sum \limits _{i=1}^{m}\chi _{i}\right)^{2}p_{n},}
t
¯
1прост.
=
t
¯
1зан.
⋅
p
1прост.
p
1зан.
=
[
1
μ
+
1
λ
(
∑
i
=
1
m
χ
i
)
2
p
n
]
⋅
1
−
χ
(
1
−
χ
m
p
n
)
χ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
{\displaystyle {\bar {t}}_{\text{1прост.}}={\bar {t}}_{\text{1зан.}}\cdot {\frac {p_{\text{1прост.}}}{p_{\text{1зан.}}}}=\left[{\frac {1}{\mu }}+{\frac {1}{\lambda }}\left(\sum \limits _{i=1}^{m}\chi _{i}\right)^{2}p_{n}\right]\cdot {\frac {1-\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)}{\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)}},}
t
¯
прост.
=
t
¯
λ
=
1
λ
,
t
¯
обсл.
=
t
¯
λ
⋅
s
¯
=
s
¯
λ
,
t
¯
очер.
=
t
¯
λ
⋅
r
¯
=
r
¯
λ
,
t
¯
сист.
=
t
¯
λ
⋅
l
¯
=
l
¯
λ
.
{\displaystyle {\bar {t}}_{\text{прост.}}={\bar {t}}_{\lambda }={\frac {1}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{обсл.}}={\bar {t}}_{\lambda }\cdot {\bar {s}}={\frac {\bar {s}}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{очер.}}={\bar {t}}_{\lambda }\cdot {\bar {r}}={\frac {\bar {r}}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{сист.}}={\bar {t}}_{\lambda }\cdot {\bar {l}}={\frac {\bar {l}}{\lambda }}.}
При χ≠1 получаем
p
0
=
1
1
+
ρ
1
!
+
ρ
2
2
!
+
…
+
ρ
n
−
1
(
n
−
1
)
!
+
ρ
n
n
!
⋅
1
−
χ
m
+
1
1
−
χ
,
p
i
=
ρ
i
i
!
p
0
,
∀
i
∈
N
n
,
p
n
+
i
=
χ
i
p
n
,
∀
i
∈
N
m
,
{\displaystyle p_{0}={\frac {1}{1+{\frac {\rho }{1!}}+{\frac {\rho ^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {\rho ^{n-1}}{(n-1)!}}+{\frac {\rho ^{n}}{n!}}\cdot {\frac {1-\chi ^{m+1}}{1-\chi }}}},p_{i}={\frac {\rho ^{i}}{i!}}p_{0},\forall i\in N_{n},p_{n+i}=\chi ^{i}p_{n},\forall i\in N_{m},}
s
¯
=
ρ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
r
¯
=
1
−
(
m
+
1
)
χ
m
+
χ
m
+
1
(
1
−
χ
)
2
χ
p
n
,
l
¯
=
s
¯
+
r
¯
=
ρ
(
1
−
χ
m
p
n
)
+
1
−
(
m
+
1
)
χ
m
+
χ
m
+
1
(
1
−
χ
)
2
χ
p
n
,
{\displaystyle {\bar {s}}=\rho \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),{\bar {r}}={\frac {1-(m+1)\chi ^{m}+\chi ^{m+1}}{\left(1-\chi \right)^{2}}}\chi p_{n},{\bar {l}}={\bar {s}}+{\bar {r}}=\rho \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)+{\frac {1-(m+1)\chi ^{m}+\chi ^{m+1}}{\left(1-\chi \right)^{2}}}\chi p_{n},}
k
¯
=
ρ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
q
=
1
−
χ
m
p
n
,
A
=
λ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
{\displaystyle {\bar {k}}=\rho \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),q=1-\chi ^{m}p_{n},A=\lambda \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),}
p
прост.
=
p
0
,
p
отк.
=
χ
m
p
n
,
p
обсл.
=
1
−
χ
m
p
n
,
{\displaystyle p_{\text{прост.}}=p_{0},p_{\text{отк.}}=\chi ^{m}p_{n},p_{\text{обсл.}}=1-\chi ^{m}p_{n},}
p
п.загр.
=
1
−
χ
m
+
1
1
−
χ
p
n
,
p
н.загр.
=
1
−
1
−
χ
m
+
1
1
−
χ
p
n
,
p
н.очер.
=
1
−
χ
m
1
−
χ
χ
p
n
,
p
1зан.
=
χ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
p
1прост.
=
1
−
χ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
{\displaystyle p_{\text{п.загр.}}={\frac {1-\chi ^{m+1}}{1-\chi }}p_{n},p_{\text{н.загр.}}=1-{\frac {1-\chi ^{m+1}}{1-\chi }}p_{n},p_{\text{н.очер.}}={\frac {1-\chi ^{m}}{1-\chi }}\chi p_{n},p_{\text{1зан.}}=\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),p_{\text{1прост.}}=1-\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right),}
t
¯
н.очер.
=
χ
(
1
−
χ
m
)
λ
(
1
−
χ
)
=
1
−
χ
m
n
μ
(
1
−
χ
)
,
t
¯
н.загр.
=
1
+
ρ
1
!
+
ρ
2
2
!
+
…
+
ρ
n
−
1
(
n
−
1
)
!
n
μ
ρ
n
n
!
,
{\displaystyle {\bar {t}}_{\text{н.очер.}}={\frac {\chi \left(1-\chi ^{m}\right)}{\lambda \left(1-\chi \right)}}={\frac {1-\chi ^{m}}{n\mu \left(1-\chi \right)}},{\bar {t}}_{\text{н.загр.}}={\frac {1+{\frac {\rho }{1!}}+{\frac {\rho ^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {\rho ^{n-1}}{(n-1)!}}}{n\mu {\frac {\rho ^{n}}{n!}}}},}
t
¯
п.загр.
=
1
−
χ
m
+
1
n
μ
(
1
−
χ
)
,
t
¯
1зан.
=
1
μ
+
χ
2
(
1
−
χ
m
)
2
λ
(
1
−
χ
)
2
p
n
=
1
μ
+
χ
(
1
−
χ
m
)
2
n
μ
(
1
−
χ
)
2
p
n
,
t
¯
1прост.
=
t
¯
1зан.
⋅
1
−
χ
(
1
−
χ
m
p
n
)
χ
(
1
−
χ
m
p
n
)
,
{\displaystyle {\bar {t}}_{\text{п.загр.}}={\frac {1-\chi ^{m+1}}{n\mu \left(1-\chi \right)}},{\bar {t}}_{\text{1зан.}}={\frac {1}{\mu }}+{\frac {\chi ^{2}\left(1-\chi ^{m}\right)^{2}}{\lambda \left(1-\chi \right)^{2}}}p_{n}={\frac {1}{\mu }}+{\frac {\chi \left(1-\chi ^{m}\right)^{2}}{n\mu \left(1-\chi \right)^{2}}}p_{n},{\bar {t}}_{\text{1прост.}}={\bar {t}}_{\text{1зан.}}\cdot {\frac {1-\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)}{\chi \left(1-\chi ^{m}p_{n}\right)}},}
t
¯
прост.
=
t
¯
λ
=
1
λ
,
t
¯
обсл.
=
1
−
χ
m
p
n
μ
,
t
¯
очер.
=
1
−
(
m
+
1
)
χ
m
+
m
χ
m
+
1
n
μ
(
1
−
χ
)
2
p
n
,
t
¯
сист.
=
t
¯
обсл.
+
t
¯
очер.
=
1
−
χ
m
p
n
μ
+
1
−
(
m
+
1
)
χ
m
+
m
χ
m
+
1
n
μ
(
1
−
χ
)
2
p
n
.
{\displaystyle {\bar {t}}_{\text{прост.}}={\bar {t}}_{\lambda }={\frac {1}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{обсл.}}={\frac {1-\chi ^{m}p_{n}}{\mu }},{\bar {t}}_{\text{очер.}}={\frac {1-(m+1)\chi ^{m}+m\chi ^{m+1}}{n\mu \left(1-\chi \right)^{2}}}p_{n},{\bar {t}}_{\text{сист.}}={\bar {t}}_{\text{обсл.}}+{\bar {t}}_{\text{очер.}}={\frac {1-\chi ^{m}p_{n}}{\mu }}+{\frac {1-(m+1)\chi ^{m}+m\chi ^{m+1}}{n\mu \left(1-\chi \right)^{2}}}p_{n}.}
При χ=1 получаем
χ
=
1
⇔
λ
=
n
μ
⇔
ρ
=
n
,
{\displaystyle \chi =1\Leftrightarrow \lambda =n\mu \Leftrightarrow \rho =n,}
p
0
=
1
1
+
ρ
1
!
+
ρ
2
2
!
+
…
+
ρ
n
n
!
+
m
ρ
n
n
!
,
p
i
=
ρ
i
i
!
p
0
,
∀
i
∈
N
n
,
p
n
+
i
=
p
n
=
ρ
n
n
!
p
0
,
∀
i
∈
N
m
,
{\displaystyle p_{0}={\frac {1}{1+{\frac {\rho }{1!}}+{\frac {\rho ^{2}}{2!}}+\ldots +{\frac {\rho ^{n}}{n!}}+m{\frac {\rho ^{n}}{n!}}}},p_{i}={\frac {\rho ^{i}}{i!}}p_{0},\forall i\in N_{n},p_{n+i}=p_{n}={\frac {\rho ^{n}}{n!}}p_{0},\forall i\in N_{m},}
s
¯
=
ρ
(
1
−
p
n
)
,
r
¯
=
m
(
m
+
1
)
2
p
n
,
l
¯
=
s
¯
+
r
¯
=
ρ
(
1
−
p
n
)
+
m
(
m
+
1
)
2
p
n
,
{\displaystyle {\bar {s}}=\rho (1-p_{n}),{\bar {r}}={\frac {m(m+1)}{2}}p_{n},{\bar {l}}={\bar {s}}+{\bar {r}}=\rho (1-p_{n})+{\frac {m(m+1)}{2}}p_{n},}
k
¯
=
s
¯
=
ρ
(
1
−
p
n
)
,
q
=
1
−
p
n
,
A
=
λ
(
1
−
p
n
)
,
{\displaystyle {\bar {k}}={\bar {s}}=\rho (1-p_{n}),q=1-p_{n},A=\lambda (1-p_{n}),}
p
прост.
=
p
0
,
p
отк.
=
p
n
,
p
обсл.
=
1
−
p
n
,
{\displaystyle p_{\text{прост.}}=p_{0},p_{\text{отк.}}=p_{n},p_{\text{обсл.}}=1-p_{n},}
p
п.загр.
=
(
m
+
1
)
p
n
,
p
н.загр.
=
1
−
(
m
+
1
)
p
n
,
p
н.очер.
=
m
p
n
,
p
1зан.
=
1
−
p
n
,
p
1прост.
=
p
n
,
{\displaystyle p_{\text{п.загр.}}=(m+1)p_{n},p_{\text{н.загр.}}=1-(m+1)p_{n},p_{\text{н.очер.}}=mp_{n},p_{\text{1зан.}}=1-p_{n},p_{\text{1прост.}}=p_{n},}
t
¯
н.очер.
=
m
λ
,
t
¯
п.загр.
=
m
+
1
n
μ
,
t
¯
н.загр.
=
1
−
(
m
+
1
)
p
n
n
μ
p
n
,
{\displaystyle {\bar {t}}_{\text{н.очер.}}={\frac {m}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{п.загр.}}={\frac {m+1}{n\mu }},{\bar {t}}_{\text{н.загр.}}={\frac {1-(m+1)p_{n}}{n\mu p_{n}}},}
t
¯
1зан.
=
1
μ
+
m
2
λ
p
n
,
t
¯
1прост.
=
(
1
μ
+
m
2
λ
p
n
)
⋅
p
n
1
−
p
n
,
{\displaystyle {\bar {t}}_{\text{1зан.}}={\frac {1}{\mu }}+{\frac {m^{2}}{\lambda }}p_{n},{\bar {t}}_{\text{1прост.}}=\left({\frac {1}{\mu }}+{\frac {m^{2}}{\lambda }}p_{n}\right)\cdot {\frac {p_{n}}{1-p_{n}}},}
t
¯
прост.
=
t
¯
λ
=
1
λ
,
t
¯
обсл.
=
ρ
(
1
−
p
n
)
λ
=
1
−
p
n
μ
,
t
¯
очер.
=
m
(
m
+
1
)
2
λ
p
n
,
t
¯
сист.
=
1
−
p
n
μ
+
m
(
m
+
1
)
2
λ
p
n
.
{\displaystyle {\bar {t}}_{\text{прост.}}={\bar {t}}_{\lambda }={\frac {1}{\lambda }},{\bar {t}}_{\text{обсл.}}={\frac {\rho (1-p_{n})}{\lambda }}={\frac {1-p_{n}}{\mu }},{\bar {t}}_{\text{очер.}}={\frac {m(m+1)}{2\lambda }}p_{n},{\bar {t}}_{\text{сист.}}={\frac {1-p_{n}}{\mu }}+{\frac {m(m+1)}{2\lambda }}p_{n}.}
Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.