СМО с отказами
СМО с отказами — это система массового обслуживания, в которой есть каналы обслуживания, но нет очереди: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается любым одним каналом, если заявка приходит — когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается одним из свободных каналов, иначе если заявка приходит — когда заняты все каналы, то заявка покидает систему (теряется).
Описание модели[править]
На вход n-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается любым одним из n-каналов.
Если заявка застаёт свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание любым из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной).
После окончания обслуживания одной заявки освобождается один канал.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний[править]
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 — в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;
S2 — в системе имеется две заявки, они обслуживается двумя каналами;
…;
Sk — в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;
Sk+1 — в системе имеется (k+1)-заявок, они обслуживаются (k+1)-каналами;
…;
Sn-1 — в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами;
Sn — в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами.
Система дифференциальных уравнений[править]
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t → ∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1, …, n), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1, …, pn.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы[править]
- Заметим, что при n=1 СМО с отказами становится одноканальной.
Другие СМО[править]
- СМО с очередью;
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО с взаимопомощью с очередью;
- СМО с отказами и взаимопомощью;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО замкнутая без очереди.
Литература[править]
- Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания — М: «Машиностроение», 1969.