СМО с отказами

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Многоканальные системы с отказами [8:04]
Математическая модель СМО с отказами

СМО с отказами — это система массового обслуживания, в которой есть каналы обслуживания, но нет очереди: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается любым одним каналом, если заявка приходит — когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается одним из свободных каналов, иначе если заявка приходит — когда заняты все каналы, то заявка покидает систему (теряется).

Содержание

[править] Описание модели

На вход n-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается любым одним из n-каналов.

Если заявка застаёт свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание любым из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной).

После окончания обслуживания одной заявки освобождается один канал.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

[править] Граф состояний

СМО10.JPG

Рассмотрим множество состояний системы:

S0 — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S1 — в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;

S2 — в системе имеется две заявки, они обслуживается двумя каналами;

;

Sk — в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;

Sk+1 — в системе имеется (k+1)-заявок, они обслуживаются (k+1)-каналами;

;

Sn-1 — в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами;

Sn — в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами.

[править] Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[math]\cases{p_0'(t)=-\lambda p_0(t)+\mu p_1(t) \\ p_1'(t)=\lambda p_0(t)-(\lambda +\mu)p_1(t)+2\mu p_2(t) \\ p_2'(t)=\lambda p_1(t)-(\lambda +2\mu)p_2(t)+3\mu p_3(t) \\ \ldots \\ p_k'(t)=\lambda p_{k-1}(t)-(\lambda +k\mu)p_k(t)+(k+1)\mu p_{k+1}(t) \\ p_{k+1}'(t)=\lambda p_{k}(t)-(\lambda +(k+1)\mu)p_{k+1}(t)+(k+2)\mu p_{k+2}(t) \\ \ldots \\ p_{n-1}'(t)=\lambda p_{n-2}(t)-(\lambda +(n-1)\mu)p_{n-1}(t)+n\mu p_{n}(t) \\ p_{n}'(t)=\lambda p_{n-1}(t)-n\mu p_{n}(t) \\ \sum\limits_{i=0}^{n}p_i(t)=1 \\ p_0(0)=1, \ p_1(0)=0, \ p_2(0)=0,\ldots, \ p_{n}(0)=0 }[/math]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t → ∞).

Система уравнений принимает вид:

[math]\cases{-\lambda p_0+\mu p_1=0 \\ \lambda p_0-(\lambda +\mu)p_1+2\mu p_2=0 \\ \lambda p_1-(\lambda +2\mu)p_2+3\mu p_3=0 \\ \ldots \\ \lambda p_{k-1}-(\lambda +k\mu)p_k+(k+1)\mu p_{k}=0 \\ \lambda p_{k}-(\lambda +(k+1)\mu)p_{k+1}+(k+2)\mu p_{k+1}=0 \\ \ldots \\ \lambda p_{n-2}-(\lambda +(n-1)\mu)p_{n-1}+n\mu p_{n}=0 \\ \lambda p_{n-1}-n\mu p_{n}=0 \\ \sum\limits_{i=0}^{n}p_i=1 \\ } \ \Leftrightarrow \ \cases{-\lambda p_0+\mu p_1=0 \\ -\lambda p_1+2\mu p_2=0 \\ -\lambda p_2+3\mu p_3=0 \\ \ldots \\ -\lambda p_k+(k+1)\mu p_{k+1}=0 \\ -\lambda p_{k+1}+(k+2)\mu p_{k+2}=0 \\ \ldots \\ -\lambda p_{n-1}+n\mu p_n=0 \\ \lambda p_{n-1}-n\mu p_{n}=0 \\ \sum\limits_{i=0}^{n}p_i=1 \\ }[/math]

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1, …, n), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p0,p1, …, pn.

СМО14.JPG

В результате получаем решение системы: СМО15.JPG

[править] Основные характеристики системы

СМО17.JPG

[править] Другие СМО

[править] Ссылки

  • Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
  • Участник:Logic-samara
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты