СМО с бесконечной очередью

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Математическая модель СМО с бесконечной очередью

СМО с бесконечной очередью — это система массового обслуживания, в которой всегда есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.

Содержание

[править] Описание модели

На вход n-канальной СМО с бесконечной очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается.

Число мест в очереди не ограничено.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

[править] Граф состояний

СМО81.JPG

Рассмотрим множество состояний системы:

S0 — в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S1 — в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;

S2 — в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;

;

Sk — в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;

;

Sn — в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;

Sn+1 — в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;

;

Sn+r — в системе имеется (n+r)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а r-заявок ожидают в очереди;

Sn+r+1 — в системе имеется (n+r+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а (r+1)-заявок ожидают в очереди;

.

[править] Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

СМО82.JPG

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

СМО83.JPG

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,∞), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p0,p1,…, pn, pn,pn+1,…,pn+r,….

СМО84.JPG СМО85.JPG

В результате получаем решение системы:

СМО86.JPG

[править] Основные характеристики системы

СМО87.JPG

При χ<1 получаем

СМО88.JPG

  • Заметим, что при n=1 СМО с бесконечной очередью становится одноканальной.

[править] Другие СМО

[править] Ссылки

  • Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
  • Участник:Logic-samara
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты