Угломерное расстояние

Не следует путать с Угловым расстоянием — углом между направлениями на две разные точки или два объекта.

Угломе́рное расстоя́ние (расстояние углового размера, расстояние по угловому размеру, расстояние по угловому диаметру, иногда — угловое расстояние; англ. angular size distance, angular diameter distance) — расстояние до астрономического объекта, которое определяется как отношение его физического размера $D_{e}$ в направлении, перпендикулярном лучу зрения, к углу $\theta _{e}$, под которым он наблюдается (т. е. его угловому размеру):

$d_{a}=D_{e}/\theta _{e}.$

Угломерное расстояние в космологии

Файл:Угломерное расстояние (график).png

Рис. 1. Зависимость угломерного расстояния от космологического красного смещения.

В статическом евклидовом пространстве угломерное расстояние совпадает с обычным геометрическим расстоянием до объекта. В космологии, когда измеряются большие внегалактические расстояния, ситуация усложняется расширением Вселенной и возможной искривлённостью пространства. В расширяющемся однородном и изотропном пространстве постоянной кривизны (т. е. в рамках космологической модели Фридмана) квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками (пространственного интервала) $dl$ задаётся формулой

$dl^{2}=a^{2}(t)\left[{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}}}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!{\theta }\,d\varphi ^{2}\right)\right],$         (1)

где $r,\ \theta ,\ \varphi$ — сферические сопутствующие координаты; $a(t)$ — масштабный фактор; $k$ — параметр, характеризующий кривизну однородного пространства и принимающий дискретные значения +1, 0 или —1 соответственно для пространства положительной, нулевой и отрицательной кривизны.

Пусть $t_{e}$ — момент времени, когда излучение было испущено объектом; $t_{0}$ — нынешний момент времени (момент приёма излучения наблюдателем); $r_{e}$ — сопутствующая координата источника (не меняющаяся в процессе расширения Вселенной). Если угол $\theta _{e}$ мал, то из этой формулы следует, что поперечный размер источника излучения равен $D_{e}=a(t_{e})r_{e}\theta _{e}$. Поскольку Вселенная расширяется изотропно и при этом углы между траекториями фотонов не изменяются, измеряемое угломерное расстояние источника составляет:

$d_{a}=a(t_{e})r_{e}.$

Излучение, испущенное источником в момент времени $t_{e}$, к моменту наблюдения $t_{0}$ подверглось космологическому красному смещению $z$ вследствие расширения Вселенной: $a(t_{0})/a(t_{e})=z+1$. Каждому моменту времени $t_{e}$ соответствует определённое красное смещение $z$. Поэтому можно перейти от рассмотрения моментов времени к красным смещениям и переписать вышеприведённое соотношение в другом виде:

$d_{a}=a(z)r(z),$

где $a(z)$ — масштабный фактор в момент времени, соответствующий красному смещению $z$; $r(z)$ – сопутствующая координата источника, чьё излучение воспринимается в настоящее время с красным смещением $z$.

Таким образом, угломерное расстояние определяется масштабным фактором в момент испускания излучения, а не его приёма. Отсюда следует, что, в отличие от фотометрического расстояния, угломерное расстояние не увеличивается монотонно с ростом $z$. Чем дальше находится источник, тем больше его координата $r_{e}$, поэтому и угломерное расстояние должно быть больше. Но, с другой стороны, чем дальше источник, тем меньше была Вселенная в момент испускания сигнала, т. е. тем меньше масштабный фактор $a(t_{e})$. Сочетание этих двух факторов приводит к тому, что с увеличением расстояния до источника (или его красного смещения $z$) угломерное расстояние сначала растёт, затем достигает максимума и начинает убывать (рис. 1). Другими словами, угол $\theta _{e}$, под которым виден удаляющийся объект конечных размеров, в расширяющейся Вселенной с любой геометрией пространства сначала уменьшается (как в статическом евклидовом пространстве), а начиная с некоторого значения $z$ начинает возрастать. Форма зависимости $d_{a}(z)$ и, в частности, положение максимума определяется величинами космологических параметров и, согласно современным наблюдательным данным, приходится на $z\approx 1,\!588$; объекты с таким красным смещением имеют максимальное угломерное расстояние $d_{a}(z)\approx 1,\!817$ Гпк.

Используя соотношение $a(t_{0})/a(t_{e})=z+1$, можно выразить угломерное расстояние через современное значение масштабного фактора $a_{0}=a(t_{0})$:

$d_{a}(z)={\frac {a_{0}r_{e}}{z+1}}={\frac {a_{0}r(z)}{z+1}}$.                           (2)

Фотометрическое расстояние равно $d_{l}(z)=(z+1)\,a_{0}r(z)$. Поэтому фотометрическое и угломерное расстояния связаны соотношением $d_{l}=d_{a}(z+1)^{2}$ при любом $z$ и при любой геометрии пространства.

При этом координата $r$ не является расстоянием до соответствующей точки пространства; она определяет площадь двумерной сферы, центрированной в начале координат (которое можно поместить в точке нахождения наблюдателя) и находящейся от него на сопутствующем расстоянии $\chi$: $S(\chi )=4\pi a_{0}^{2}\,r^{2}(\chi )$. В однородном и изотропном пространстве связь между ними задаётся следующим образом (соответственно для пространств положительной, нулевой и отрицательной кривизны):

$r(\chi )={\begin{cases}\sin {\chi };\\\chi ;\\\sinh {\chi }.\\\end{cases}}$                                             (3)

Зависимость сопутствующего расстояния до источника от его красного смещения $\chi (z)$ задаётся выражением:

$\chi (z)={\frac {c}{a_{0}H_{0}}}\int \limits _{0}^{z}{\frac {dx}{\sqrt {\Omega _{r0}(x+1)^{4}+\Omega _{m0}(x+1)^{3}+\Omega _{K}(x+1)^{2}+\Omega _{\Lambda }}}},$

где $\Omega _{m0}$ — современное значение космологического параметра плотности нерелятивистского вещества (включающего обычное барионное вещество и холодную тёмную материю); $\Omega _{r0}$ – аналогичный параметр плотности ультрарелятивистской материи (излучения); $\Omega _{\Lambda }=c^{2}\Lambda /(3H_{0}^{2})$ — параметр, связанный с космологической постоянной; $\Omega _{K}=-kc^{2}/(a_{0}H_{0})^{2}$ — параметр, связанный с кривизной пространства; $H_{0}$ — современное значение параметра Хаббла; $\Lambda$ — космологическая постоянная; $c$ — скорость света в вакууме; $k$ — параметр кривизны, входящий в выражение (1); $x$ — переменная интегрирования. Значение данного интеграла обычно рассчитывается численными методами при заданных значениях соответствующих космологических параметров, входящих в выражение. После этого подстановка $\chi (z)$ в одну из формул (3) позволяет найти зависимость $r(z)$, а через неё — угломерное расстояние $d_{a}(z)$ по формуле (2).

Наблюдательные данные по анизотропии реликтового излучения показывают, что трёхмерное пространство Вселенной с высокой точностью является плоским, т. е. характеризуется нулевой кривизной. Это означает, что $\Omega _{K}=0$, $\Omega _{m0}+\Omega _{r0}+\Omega _{\Lambda }=1$. В этом случае справедливо выражение

$d_{a}(z)={\frac {a_{0}\chi }{z+1}}={\frac {c}{H_{0}(z+1)}}\int \limits _{0}^{z}{\frac {dx}{\sqrt {\Omega _{r0}(x+1)^{4}+\Omega _{m0}(x+1)^{3}+\Omega _{\Lambda }}}}.$

Величина $d_{c}=a_{0}\chi$ — это собственное расстояние до источника излучения в момент наблюдения (приёма излучения наблюдателем). Таким образом, в плоском расширяющемся пространстве угломерное и собственное расстояния связаны соотношением:

$d_{a}={\frac {d_{c}}{z+1}}.$

Методы измерения. Стандартные линейки

Основная статья: Стандартная линейка.

Чтобы вычислить угломерное расстояние до объекта, нужно знать его физический размер. Поэтому для этой цели используются стандартные линейки — астрономические объекты, размеры которых считаются известными. В качестве стандартных линеек могут использоваться разные объекты. Например, в некоторых галактиках наблюдаются яркие газовые туманности, при этом линейные размеры наибольших туманностей в галактиках почти одинаковы. Поэтому, измерив угловые размеры ярчайшей туманности в какой-либо галактике, можно определить угломерное расстояние до этой галактики. Данный способ применим к спиральным и неправильным галактикам до расстояний примерно 15 Мпк. Погрешность этого метода — не менее 10%. Другой важной стандартной линейкой являются барионные акустические осцилляции. Они обеспечивают существование характерного масштаба длины, равного размеру акустического горизонта в эпоху рекомбинации водорода в ранней Вселенной. Этот масштаб может быть измерен в широком диапазоне космологических красных смещений $z$ по наблюдениям крупномасштабного распределения галактик и квазаров, обеспечивая возможность определить зависимость между угломерным расстоянием и космологическим красным смещением $d_{a}(z)$ [а также эволюцию параметра Хаббла $H(z)$] чисто геометрическим методом. Это даёт дополнительный метод исследования истории расширения Вселенной и природы тёмной энергии.

Литература

• Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. — М.: Наука, 1975. — 735 с.
• Физика космоса: Маленькая энциклопедия / Редкол.: Р. А. Сюняев (гл. ред.) и др. — 2-е изд., перераб. и доп.. — М.: Советская энциклопедия, 1986. — 783 с.
• Лукаш В. Н., Михеева Е. В. Физическая космология. — М.: Физматлит, 2012. — 404 с. — ISBN 978-5-9221-1161-4.
• Вайнберг С. Космология = Cosmology / Под ред. и с предисл. И. Я. Арефьевой, В. И. Санюка. — Изд. 2-е. — М.: URSS: ЛЕНАНД, 2018. — 608 с. — ISBN 978-5-9710-5456-6.
• Сурдин В. Г. Понятный космос: от кварка до квазара. — М.: АСТ, 2021. — 384 с. — ISBN 978-5-17-135800-6.
• Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. — Изд. 8-е, испр.. — М.: URSS, 2022. — 544 с. — ISBN 978-5-9710-6081-9.
• Засов А. В., Постнов К. А. Общая астрофизика. — 4-е изд. — М.: ДМК-Пресс, 2022. — 572 с. — ISBN 978-5-89818-132-1.
• Горбунов Д. С., Рубаков В. А. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва.. — Изд. стереотип.. — М.: URSS, 2023. — 616 с. — ISBN 978-5-9710-7166-2.

Ссылки

• Псковский Ю. П. Расстояния до космических объектов (методы определения) // Astronet.
• Сажина О. С. Расстояние по угловому размеру // Большая российская энциклопедия: научно-образовательный портал. – Дата публикации: 02.12.2024.
• Сажина О. С. Шкала космических расстояний // Большая российская энциклопедия: научно-образовательный портал. – Дата публикации: 02.12.2024.
• Космологический калькулятор Неда Райта (ресурс, позволяющий рассчитывать угломерное расстояние, соответствующее любому красному смещению, при заданных космологических параметрах).
• Космологический калькулятор Международного цента радиоастрономических исследований (ICRAR), позволяющий строить графики различных видов расстояний в зависимости от космологического красного смещения при заданных космологических параметрах.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Угломерное расстояние», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Угломерное_расстояние» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».