Фотометрическое расстояние

Фотометри́ческое расстоя́ние (англ. luminosity distance) — расстояние до астрономического объекта, которое определяется через его известную светимость $L$ и измеренную земным наблюдателем энергетическую освещённость $E_{e}$, создаваемую этим объектом:

$d_{l}={\sqrt {\frac {L}{4\pi E_{e}}}}.$                                            (1)

В качестве меры освещённости часто выступает видимая звёздная величина $m$ объекта, а в качестве светимости — его абсолютная звёздная величина $M$. Тогда фотометрическое расстояние может быть вычислено по формуле:

$\lg {d_{l}}=0,\!2\left[m-M-A(r)\right]+1,$            (2)

где $d_{l}$ — фотометрическое расстояние, выраженное в парсеках; $A(r)$ — поправка, учитывающая поглощение излучения в пространстве между источником и наблюдателем в межзвёздной (межзвёздное поглощение) или межгалактической среде, выраженная в звёздных величинах. Обычно звёздные величины $m$ и $M$ относятся только к какому-либо диапазону спектра (фотометрической полосе).

Фотометрическое расстояние в космологии

Файл:Фотометрическое расстояние (график).png

Рис. 1. Зависимость фотометрического расстояния от космологического красного смещения.

В статическом евклидовом пространстве фотометрическое расстояние совпадает с обычным геометрическим расстоянием до объекта (если источник излучает одинаково во всех направлениях и учтено возможное поглощение энергии по пути от источника к наблюдателю). В космологии, когда измеряются большие внегалактические расстояния, ситуация усложняется расширением Вселенной и возможной искривлённостью пространства. Если Вселенная расширяется, то энергетическая освещённость уменьшается с расстоянием не только из-за геометрического фактора (распределения энергии по сфере всё большего и большего радиуса), но ещё про двум причинам:

• из-за непрерывно возрастающего расстояния до источника частота прихода фотонов к наблюдателю уменьшается в $(z+1)$ раз (где $z$ — космологическое красное смещение источника), поскольку каждому следующему фотону приходится преодолевать большее расстояние, чем предыдущему;
• энергия каждого отдельно взятого фотона также уменьшается в $(z+1)$ раз.

Вследствие этого энергетическая освещённость, создаваемая источником с космологическим красным смещением $z$, определяется следующим выражением:

$E_{e}={\frac {L}{4\pi a_{0}^{2}\,r^{2}(z)\,(z+1)^{2}}},$

где $a_{0}$ – современное значение масштабного фактора, $r(z)$ — координатное расстояние между наблюдателем и источником. В однородном и изотропном пространстве постоянной кривизны (т. е. в рамках космологической модели Фридмана) координатное расстояние связано с сопутствующим расстоянием $\chi (z)$ между источником и наблюдателем следующим образом (соответственно для пространств положительной, нулевой и отрицательной кривизны):

$r(\chi )={\begin{cases}\sin {\chi };\\\chi ;\\\sinh {\chi }.\\\end{cases}}$                                             (3)

Соответственно, фотометрическое расстояние равно:

$d_{l}(z)=(z+1)\,a_{0}r(z).$                                 (4)

Зависимость сопутствующего расстояния до источника от его красного смещения $\chi (z)$ задаётся выражением:

$\chi (z)={\frac {c}{a_{0}H_{0}}}\int \limits _{0}^{z}{\frac {dx}{\sqrt {\Omega _{r0}(x+1)^{4}+\Omega _{m0}(x+1)^{3}+\Omega _{K}(x+1)^{2}+\Omega _{\Lambda }}}},$

где $\Omega _{m0}$ — современное значение космологического параметра плотности нерелятивистского вещества (включающего обычное барионное вещество и холодную тёмную материю); $\Omega _{r0}$ – аналогичный параметр плотности ультрарелятивистской материи (излучения); $\Omega _{\Lambda }=c^{2}\Lambda /(3H_{0}^{2})$ — параметр, связанный с космологической постоянной; $\Omega _{K}=-kc^{2}/(a_{0}H_{0})^{2}$ — параметр, связанный с кривизной пространства; $H_{0}$ — современное значение параметра Хаббла; $\Lambda$ — космологическая постоянная; $c$ — скорость света в вакууме; $k$ — параметр, характеризующий кривизну однородного пространства и принимающий дискретные значения +1, 0 или —1 соответственно для пространства положительной, нулевой и отрицательной кривизны; $x$ — переменная интегрирования. Значение данного интеграла обычно рассчитывается численными методами при заданных значениях соответствующих космологических параметров, входящих в выражение. После этого подстановка $\chi (z)$ в одну из формул (3) позволяет найти координатное расстояние $r(z)$, а через него — фотометрическое расстояние $d_{l}(z)$ по формуле (4).

Наблюдательные данные по анизотропии реликтового излучения показывают, что трёхмерное пространство Вселенной с высокой точностью является плоским, т. е. характеризуется нулевой кривизной. Это означает, что $\Omega _{K}=0$, $\Omega _{m0}+\Omega _{r0}+\Omega _{\Lambda }=1$. В случае плоского пространства выражение для энергетической освещённости принимает вид::

$E_{e}={\frac {L}{4\pi (a_{0}\chi )^{2}(z+1)^{2}}}.$

При этом фотометрическое расстояние в космологии определяется также по формуле (1), т. е. это расстояние, на котором в евклидовом пространстве неподвижный объект создал бы для наблюдателя такую же энергетическую освещённость, которую создаёт тот же объект в расширяющейся модели Фридмана. Следовательно, фотометрическое расстояние равно:

$d_{l}=a_{0}\chi (z+1)={\frac {c}{H_{0}}}(z+1)\int \limits _{0}^{z}{\frac {dx}{\sqrt {\Omega _{r0}(x+1)^{4}+\Omega _{m0}(x+1)^{3}+\Omega _{\Lambda }}}}.$

Величина $d_{c}=a_{0}\chi$ — это собственное расстояние до источника излучения в момент наблюдения (приёма излучения наблюдателем). Таким образом, в плоском расширяющемся пространстве фотометрическое и собственное расстояния связаны соотношением:

$d_{l}=d_{c}(z+1).$

Фотометрическое расстояние до объектов монотонно возрастает с ростом их космологического красного смещения $z$ почти по линейному закону (рис. 1), причём темп возрастания зависит от от космологических параметров Вселенной. При малых значениях красного смещения $z$ справедлива приближённая формула для разложения фотометрического расстояния $d_{l}$ в ряд Тейлора:

$d_{l}\approx {\frac {c}{H_{0}}}\left[z+z^{2}\left({\frac {1-q_{0}}{2}}\right)+...\right],$

где $q_{0}$ — современное значение космологического параметра замедления.

Как правило, создаваемая источником освещённость измеряется только в определённом интервале длин волн (например, с помощью светофильтра, отсекающего излучение других длин волн). В таком случае светимость в формуле (1), используемая для расчёта фотометрического расстояния, должна относиться к этому же интервалу длин волн. Из-за расширения Вселенной и вызванного им космологического красного смещения все длины волн фотонов увеличиваются в $(z+1)$ раз, что приводит к сдвигу спектрального распределения энергии излучения объекта в сторону бо́льших длин волн (меньших частот). Излучение, принимаемое на некоторой длине волны $\lambda _{obs}$ было испущено объектом на меньшей длине волны $\lambda _{e}<\lambda _{obs}$. Из-за различия излучаемой и принимаемой длин волн поток излучения от далёкого источника отличается от того, какой наблюдался бы при отсутствии красного смещения. Для учёта этого эффекта вводится т. н. К-поправка, позволяющая пересчитать измеренную звёздную величину источника к звёздной величине, которая наблюдалась бы в системе покоя источника, т. е. при отсутствии красного смещения:

$m_{i}(z=0)=m_{i}(z)-A-K_{i}(z),$

где $z$ — красное смещение источника; $i$ — индекс, обозначающий полосу пропускания длин волн (фотометрическую полосу); $m_{i}(z)$ — наблюдаемая звёздная величина источника с красным смещением $z$; $m_{i}(z=0)$ — звёздная величина, которую имел бы источник при отсутствии красного смещения и межгалактического поглощения излучения; $A$ — поправка, обусловленная межгалактическим поглощением излучения; $K_{i}(z)$ — K-поправка.

Если светимость $L$ и энергетическая освещённость $E_{e}$ в формуле (1) являются болометрическими, т. е. интегральными по всем длинам волн (от 0 до бесконечности), то определённое таким образом фотометрическое расстояние иногда называют болометрическим расстоянием.

Методы измерения. Стандартные свечи

Основная статья: Стандартная свеча.

Чтобы по наблюдаемой освещённости (видимой звёздной величине) вычислить фотометрическое расстояние до объекта, необходимо знать его светимость (абсолютную звёздную величину). Поэтому для данной цели используются стандартные свечи — астрономические объекты, светимость которых считается известной или может быть определена по другим физическим свойствам этих объектов. В частности, если расстояние до объектов измерено иным способом (например, с помощью тригонометрического параллакса), то, зная их видимые звёздные величины $m$, по формуле (2) можно рассчитать абсолютные величины $M$. Затем можно сопоставить их с другими наблюдаемыми характеристиками данных объектов (например, особенностями спектра, кривой блеска и др.) и установить между ними корреляцию. Впоследствии можно решать эту задачу в обратном направлении: по данной корреляции определять абсолютную звёздную величину источника излучения, а затем по его измеренной видимой величине вычислять фотометрическое расстояние. В качестве стандартных свечей используются преимущественно следующие объекты: звёзды главной последовательности (чью абсолютную величину $M$ можно определять по спектральному классу или показателю цвета с помощью диаграммы Герцшпрунга — Рассела), красные гиганты, цефеиды, переменные звёзды типа RR Лиры, новые звёзды, сверхновые звёзды Ia типа и некоторые другие типы переменных звёзд.

Например, для цефеид установлена определённая зависимость между периодом пульсаций и светимостью в максимуме блеска: чем больше период пульсаций, тем больше светимость. Измерив период пульсаций цефеиды, можно вычислить её светимость в максимуме блеска, а затем, сравнивая светимость с видимой звёздной величиной цефеиды в максимуме, можно вычислить фотометрическое расстояние до неё. Этот метод используется, в частности, для определения расстояний до галактик, в которых обнаружены цефеиды. В космологии одной из важнейших стандартных свечей являются сверхновые звёзды Ia типа, светимость в максимуме которых можно определить по форме их кривой блеска. Благодаря тому, что сверхновые звёзды обладают светимостью, сравнимой со светимостью целой галактики, и вследствие этого могут наблюдаться на очень больших расстояниях, с помощью этих объектов были измерены фотометрические расстояния до далёких галактик и открыто ускоренное расширение Вселенной.

Литература

• Зельдович Я. Б., Новиков И. Д. Строение и эволюция Вселенной. — М.: Наука, 1975. — 735 с.
• Физика космоса: Маленькая энциклопедия / Редкол.: Р. А. Сюняев (гл. ред.) и др. — 2-е изд., перераб. и доп.. — М.: Советская энциклопедия, 1986. — 783 с.
• Лукаш В. Н., Михеева Е. В. Физическая космология. — М.: Физматлит, 2012. — 404 с. — ISBN 978-5-9221-1161-4.
• Вайнберг С. Космология = Cosmology / Под ред. и с предисл. И. Я. Арефьевой, В. И. Санюка. — Изд. 2-е. — М.: URSS: ЛЕНАНД, 2018. — 608 с. — ISBN 978-5-9710-5456-6.
• Сурдин В. Г. Понятный космос: от кварка до квазара. — М.: АСТ, 2021. — 384 с. — ISBN 978-5-17-135800-6.
• Кононович Э. В., Мороз В. И. Общий курс астрономии. — Изд. 8-е, испр.. — М.: URSS, 2022. — 544 с. — ISBN 978-5-9710-6081-9.
• Засов А. В., Постнов К. А. Общая астрофизика. — 4-е изд. — М.: ДМК-Пресс, 2022. — 572 с. — ISBN 978-5-89818-132-1.
• Горбунов Д. С., Рубаков В. А. Введение в теорию ранней Вселенной: Теория горячего Большого взрыва.. — Изд. стереотип.. — М.: URSS, 2023. — 616 с. — ISBN 978-5-9710-7166-2.
• Шмидт Б. П. Ускоренное расширение Вселенной по наблюдениям далёких сверхновых рус. // Успехи физических наук. — 2013. — Vol. 183. — С. 1078–1089. — DOI:10.3367/UFNr.0183.201310f.1078

Ссылки

• Псковский Ю. П. Расстояния до космических объектов (методы определения) // Astronet.
• Сажина О. С. Фотометрическое расстояние // Большая российская энциклопедия: научно-образовательный портал. – Дата публикации: 19.05.2022.
• Сажина О. С. Болометрическое расстояние // Большая российская энциклопедия: научно-образовательный портал. – Дата публикации: 02.12.2024.
• Сажина О. С. Шкала космических расстояний // Большая российская энциклопедия: научно-образовательный портал. – Дата публикации: 02.12.2024.
• Сажина О. С. Стандартная свеча // Большая российская энциклопедия: научно-образовательный портал. – Дата публикации: 19.05.2022.
• Сажина О. С. К-поправка // Большая российская энциклопедия: научно-образовательный портал. – Дата публикации: 19.05.2022
• Космологический калькулятор Неда Райта (ресурс, позволяющий рассчитывать фотометрическое расстояние, соответствующее любому красному смещению, при заданных космологических параметрах).
• Космологический калькулятор Международного цента радиоастрономических исследований (ICRAR), позволяющий строить графики различных видов расстояний в зависимости от космологического красного смещения при заданных космологических параметрах.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Фотометрическое расстояние», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Фотометрическое_расстояние» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».