Циклопедия скорбит по жертвам террористического акта в Крокус-Сити (Красногорск, МО)

Математическое доказательство

Материал из Циклопедии
(перенаправлено с «Доказательство (логика)»)
Перейти к навигации Перейти к поиску
Один из старейших фрагментов работы Евклида «Начала», учебника, который сохранился и использовался в течение тысячелетий для обучения методам написания математических доказательств
Доказательство — Принципы математического мышления // Маткульт-привет! Алексей Савватеев и Ко [25:55]
Гордон — Диалоги (№ 268). Доказательность в математике

Математическое доказательство, формальное доказательство — правильно сформулированный порядок логических утверждений, связанных отношением следования (импликации, влечения, вывода) непрерывной цепью от аксиом к искомому утверждению.

Общая информация[править]

Доказательство необходимо, как завершение теории в формальных науках: имея фиксированный логический язык, аксиоматическую систему и набор известных теорем, сообщество исследователей решает статус некоторых гипотез, проводя доказательство их истинности в качестве теорем или же опровергая их доказательством ложности. Обнаружение противоречий в рамках теории или её аксиоматических основ — приводит к её кризису, побуждающему поправку или ревизию, вплоть до смены парадигм. Также могут строить математическое доказательство теоремам, которые уже́ доказаны иным способом: для более краткого и/или простого доказательства, в практике образования, в поисках альтернативной системы аксиом, либо в преследовании математической красоты.

В зависимости от контекста, может подразумеваться доказательство в рамках определенной формальной системы (построенная по особым правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, согласно которому при желании возможно восстановить формальное доказательство. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений (лемм).

Доказательство может опираться на очевидные или общепринятые явления или случаи, известные как аксиомы[1][2]. Доказательства являются примерами дедуктивного рассуждения и отличаются от индуктивных или эмпирических аргументов. Доказательство должно продемонстрировать, что доказываемое утверждение всегда верно, иногда путем перечисления всех возможных случаев и показывая, что утверждение выполняется в каждом из них.

Формальными доказательствами занимается специальный раздел математики — теория доказательств. Сами формальные доказательства математики почти никогда не используют, так как для человеческого восприятия они очень сложны и часто занимают слишком много места. Обычное доказательство имеет вид текста, в котором автор, опираясь на аксиомы и доказанные ранее теоремы, с помощью логических средств показывает истинность некоторого утверждения. В отличие от других наук, в математике недопустимы эмпирические доказательства, то есть все утверждения доказываются исключительно логическим способом. В математике важную роль играют математическая интуиция и аналогии между различными объектами и теоремами; однако, все эти средства используются учеными только при поиске доказательств, сами доказательства не могут базироваться на таких средствах.

Парадоксы[править]

Некорректное ведение доказательства может вести к парадоксам. Так парадокс под названием «Доказательство одноцветности всех лошадей» — пример некорректного применения метода математической индукции.

См. также[править]

Источники[править]

  1. Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. p. 3.
  2. Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1. p. 86. ISBN 0-470-45793-7

Ссылки[править]