Медиана дискретной случайной величины

Теория вероятностей. Мода и медиана // bezbotvy [2:14]

Медиана, для дискретной случайной величины — числовая характеристика случайной величины, равная значению случайной величины для которой вероятность меньших значений меньше 0,5 и вероятность бо́льших значений меньше 0,5.

Обозначения

n — число значений дискретной случайной величины;

x_j — j-ое значение случайной величины;

p_j — вероятность появления j-ого значения случайной величины;

Me — медиана.

Формулы

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Me=x_{i_{Me}}, \ i_{Me}=\arg\limits_{1 \le i \le n}\left\{\sum\limits_{j=1}^{i-1}p_j < \frac{1}{2} < \sum\limits_{j=1}^{i}p_j \right\} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow Me=\begin{cases} \bar \exists, \text{если } \exists i \in N_n \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i}p_j = \frac{1}{2} \\ x_i, \text{если } \exists i \in N_n \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i-1}p_j < \frac{1}{2} < \sum\limits_{j=1}^{i}p_j \end{cases} }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Me=x_{i_{Me}}, \ i_{Me}=\arg\limits_{1 \le i \le n}\left\{\sum\limits_{j=1}^{i-1}p_j < \frac{1}{2} \text{ и} \sum\limits_{j=i+1}^{n}p_j < \frac{1}{2} \right\} \Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow Me=\begin{cases} \bar \exists, \text{если } \exists i \in N_n \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i}p_j = \sum\limits_{j=i+1}^{n}p_j = \frac{1}{2} \\ x_i, \text{если } \exists i \in N_n \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i-1}p_j < \frac{1}{2} \text{ и} \sum\limits_{j=i+1}^{n}p_j < \frac{1}{2} \end{cases} }

• У дискретной случайной величины может не быть медианы, если в упорядоченном ряду её значений не выполняется условие для накопительных от начала сумм вероятностей и соответствующих накопительных сумм от конца.

При отсутствии медианы у дискретной случайной величины, если в упорядоченном ряду её значений есть накопительные от начала суммы вероятностей, равные 0,5, иногда применяют вспомогательную формулу:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Me=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}, \text{если } \exists i \in N_{n-1} \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i}p_j = \frac{1}{2}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Rightarrow Me=\frac{x_i+x_{i+1}}{2}, \text{если } \exists i \in N_{n-1} \Rightarrow \sum\limits_{j=1}^{i}p_j = \sum\limits_{j=i+1}^{n}p_j = \frac{1}{2}}

• Вспомогательная формула медианы является условной (не соответствующей определению).

См. также

• Медиана непрерывной случайной величины

Другие формулы

1. средняя;
2. дисперсия;
3. среднеквадратическое отклонение;
4. среднее линейное отклонение;
5. мода;
6. медиана;
7. квартиль;
8. дециль;
9. начальный момент k-ого порядка;
10. центральный момент k-ого порядка;
11. коэффициент асимметрии;
12. коэффициент эксцесса.