Объём усечённой пирамиды

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Объём усечённой пирамиды / Урок геометрии 11 класс [7:30]

Объём усечённой пирамиды — это число, характеризующее усечённую пирамиду в единицах измерения объёма.

Усечённая пирамида — это (n + 2)-гранник с n боковыми гранями из трапеций и двумя параллельными основаниями — n-угольниками.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

2n — число вершин усечённой пирамиды;

(n + 2) — число граней усечённой пирамиды;

a1i — i-ая сторона 1-ого основания (ребро);

a2i — i-ая сторона 2-ого основания (ребро);

bi — i-ая боковая сторона (ребро);

H — высота усечённой пирамиды;

βi — i-ый угол между i-ой боковой стороной и 2-ым основанием (или 1-ым основанием);

S1n — площадь 1-ого основания (n-угольника);

S2n — площадь 2-ого основания (n-угольника);

Vус.пир.n  — объём усечённой пирамиды.

Формулы[править]

[math]\displaystyle{ V_\text{усеч.пир n}=\frac{1}{3}\left(S_{1n}+\sqrt{S_{1n}S_{2n}}+S_{2n}\right)H, \ S_{1n}=\sum\limits_{j=2}^nS_{1\triangle_j}, \ S_{2n}=\sum\limits_{j=2}^nS_{2\triangle_j} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{усеч.пир n}=\frac{1}{3}\left(S_{1n}+\sqrt{S_{1n}S_{2n}}+S_{2n}\right)b_i\sin\beta_i, \ H=b_i\sin\beta_i, \ i=\overline {1,n} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{усеч.пир n}=V_{2n}-V_{1n}, \ V_{1n}=\frac{1}{3}S_{1n}H_1, \ V_{2n}=\frac{1}{3}S_{2n}H_2 \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{усеч.пир n}=\frac{1}{3}(S_{2n}H_2-S_{1n}H_1), \ H_1=\frac{H\sqrt{S_{1n}}}{\sqrt{S_{2n}}-\sqrt{S_{1n}}}, \ H_2=\frac{H\sqrt{S_{2n}}}{\sqrt{S_{2n}}-\sqrt{S_{1n}}} \Leftrightarrow }[/math]
[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow V_\text{усеч.пир n}=\frac{1}{3}H\frac{\sqrt{S^3_{2n}}-\sqrt{S^3_{1n}}}{\sqrt{S_{2n}}-\sqrt{S_{1n}}} }[/math]

Другие многогранники[править]

См. также[править]