Объём усечённой пирамиды

Объём усечённой пирамиды / Урок геометрии 11 класс [7:30]

Объём усечённой пирамиды — это число, характеризующее усечённую пирамиду в единицах измерения объёма.

Усечённая пирамида — это (n + 2)-гранник с n боковыми гранями из трапеций и двумя параллельными основаниями — n-угольниками.

Обозначения

2n — число вершин усечённой пирамиды;

(n + 2) — число граней усечённой пирамиды;

a_1i — i-ая сторона 1-ого основания (ребро);

a_2i — i-ая сторона 2-ого основания (ребро);

b_i — i-ая боковая сторона (ребро);

H — высота усечённой пирамиды;

β_i — i-ый угол между i-ой боковой стороной и 2-ым основанием (или 1-ым основанием);

S_1n — площадь 1-ого основания (n-угольника);

S_2n — площадь 2-ого основания (n-угольника);

V_{ус.пир.n}  — объём усечённой пирамиды.

Формулы

$V_{\text{усеч.пир n}}={\frac {1}{3}}\left(S_{1n}+{\sqrt {S_{1n}S_{2n}}}+S_{2n}\right)H,\ S_{1n}=\sum \limits _{j=2}^{n}S_{1\triangle _{j}},\ S_{2n}=\sum \limits _{j=2}^{n}S_{2\triangle _{j}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{усеч.пир n}}={\frac {1}{3}}\left(S_{1n}+{\sqrt {S_{1n}S_{2n}}}+S_{2n}\right)b_{i}\sin \beta _{i},\ H=b_{i}\sin \beta _{i},\ i={\overline {1,n}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{усеч.пир n}}=V_{2n}-V_{1n},\ V_{1n}={\frac {1}{3}}S_{1n}H_{1},\ V_{2n}={\frac {1}{3}}S_{2n}H_{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{усеч.пир n}}={\frac {1}{3}}(S_{2n}H_{2}-S_{1n}H_{1}),\ H_{1}={\frac {H{\sqrt {S_{1n}}}}{{\sqrt {S_{2n}}}-{\sqrt {S_{1n}}}}},\ H_{2}={\frac {H{\sqrt {S_{2n}}}}{{\sqrt {S_{2n}}}-{\sqrt {S_{1n}}}}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow V_{\text{усеч.пир n}}={\frac {1}{3}}H{\frac {{\sqrt {S_{2n}^{3}}}-{\sqrt {S_{1n}^{3}}}}{{\sqrt {S_{2n}}}-{\sqrt {S_{1n}}}}}$

Другие многогранники

1. призма;
2. пирамида;
3. усечённая пирамида;
4. тетраэдр;
5. параллелепипед;
6. n-гранник.

См. также

• Площадь поверхности усечённой пирамиды