Объём усечённой пирамиды / Урок геометрии 11 класс [7:30]
Объём усечённой пирамиды — это число, характеризующее усечённую пирамиду в единицах измерения объёма.
Усечённая пирамида — это (n + 2)-гранник с n боковыми гранями из трапеций и двумя параллельными основаниями — n-угольниками.
Введём обозначения:
2n — число вершин усечённой пирамиды;
(n + 2) — число граней усечённой пирамиды;
a1i — i-ая сторона 1-ого основания (ребро);
a2i — i-ая сторона 2-ого основания (ребро);
bi — i-ая боковая сторона (ребро);
H — высота усечённой пирамиды;
βi — i-ый угол между i-ой боковой стороной и 2-ым основанием (или 1-ым основанием);
S1n — площадь 1-ого основания (n-угольника);
S2n — площадь 2-ого основания (n-угольника);
Vус.пир.n — объём усечённой пирамиды.
![{\displaystyle V_{\text{усеч.пир n}}={\frac {1}{3}}\left(S_{1n}+{\sqrt {S_{1n}S_{2n}}}+S_{2n}\right)H,\ S_{1n}=\sum \limits _{j=2}^{n}S_{1\triangle _{j}},\ S_{2n}=\sum \limits _{j=2}^{n}S_{2\triangle _{j}}\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e118c79fd6224238ee5abd7b129aa86a4377c97)
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{усеч.пир n}}={\frac {1}{3}}\left(S_{1n}+{\sqrt {S_{1n}S_{2n}}}+S_{2n}\right)b_{i}\sin \beta _{i},\ H=b_{i}\sin \beta _{i},\ i={\overline {1,n}}\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd7b4b078a4b3e221459e380297bfbf5ef7bd125)
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{усеч.пир n}}=V_{2n}-V_{1n},\ V_{1n}={\frac {1}{3}}S_{1n}H_{1},\ V_{2n}={\frac {1}{3}}S_{2n}H_{2}\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e573653556818adf0a15da454caef99ba1cecd9)
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{усеч.пир n}}={\frac {1}{3}}(S_{2n}H_{2}-S_{1n}H_{1}),\ H_{1}={\frac {H{\sqrt {S_{1n}}}}{{\sqrt {S_{2n}}}-{\sqrt {S_{1n}}}}},\ H_{2}={\frac {H{\sqrt {S_{2n}}}}{{\sqrt {S_{2n}}}-{\sqrt {S_{1n}}}}}\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775f86d29561258970b701ece7e2d233568ed1f8)
![{\displaystyle \Leftrightarrow V_{\text{усеч.пир n}}={\frac {1}{3}}H{\frac {{\sqrt {S_{2n}^{3}}}-{\sqrt {S_{1n}^{3}}}}{{\sqrt {S_{2n}}}-{\sqrt {S_{1n}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b12198e7fb275128e477173e9a7d6c24fffe51db)
Другие многогранники[править]