Объём n-гранника

Нахождение объема многогранника // Шпаргалка ЕГЭ [2:13]

Объём n-гранника — это число, характеризующее многогранник в единицах измерения объёма.

n-гранник — это многогранник, у которого n граней.

Рассмотрим только выпуклые многогранники.

Объём n-гранника равен сумме объёмов пирамид, с общей вершиной (внутренней точкой n-гранника) и основаниями, равными граням n-гранника.

Обозначения[править]

Введём обозначения:

n — число граней;

h_j — расстояние от внутренней точки до j-ой грани (высота j-ой пирамиды), 1 ≤ j ≤ n;

S_гр.j — площадь j-ой грани (основание j-ой пирамиды), 1 ≤ j ≤ n;

V_пир.j — объём j-ой пирамиды, 1 ≤ j ≤ n;

V_n — объём n-гранника.

V_{n}=\sum \limits _{j=1}^{n}V_{{\text{пир.}}j},\ V_{{\text{пир.}}j}={\frac {1}{3}}h_{j}S_{{\text{гр.}}j},\ j={\overline {1,n}}\Leftrightarrow V_{n}=V_{\text{пир.1}}+V_{\text{пир.2}}+\ldots +V_{\text{пир.n}},

V_{{\text{пир.}}1}={\frac {1}{3}}h_{1}S_{{\text{гр.}}1},\ V_{{\text{пир.}}2}={\frac {1}{3}}h_{2}S_{{\text{гр.}}2},\ \ldots ,V_{{\text{пир.}}n}={\frac {1}{3}}h_{n}S_{{\text{гр.}}n}