Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую

Уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую, задаётся равенством нулю смешанного произведения векторов-разностей (радиусов-векторов соответствующих точек) и направляющего вектора прямой.

Обозначения

Введём обозначения:

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки плоскости;

${\bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ — радиус-вектор точки;

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор точки прямой;

${\bar {s}}_{1}=(l_{1},m_{1},n_{1})$ — направляющий вектор прямой.

Формулы:

Векторная форма:

$\left(\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{0}\right);\left({\bar {r}}_{1}-{\bar {r}}_{0}\right);{\bar {s}}_{1}\right)=0$

Координатная форма:

${\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\\l_{1}&m_{1}&n_{1}\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\begin{vmatrix}y_{1}-y_{0}&z_{1}-z_{0}\\m_{1}&n_{1}\end{vmatrix}}(x-x_{0})-{\begin{vmatrix}x_{1}-z_{0}&z_{1}-z_{0}\\l_{1}&n_{1}\end{vmatrix}}(y-y_{0})+{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{0}&y_{1}-y_{0}\\l_{1}&m_{1}\end{vmatrix}}(z-z_{0})=0$

• Заметим, что формулы уравнения плоскости, проходящей через точку и прямую, аналогичны формулам уравнения плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой.

Уравнения плоскости:

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух прямых;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.