Уравнение плоскости, проходящей через три точки

§41 Уравнение плоскости, проходящей через три данные плоскости // Мемория Высшая Математика [10:36]

Уравнение плоскости, проходящей через три точки — уравнение, описывающее плоскость, проходящую через три заданные точки.

Задаётся равенством нулю смешанного произведения векторов разностей радиусов-векторов точек (кроме одной) и радиус-вектора одной точки.

Обозначения

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки плоскости;

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор первой точки;

${\bar {r}}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ — радиус-вектор второй точки;

${\bar {r}}_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ — радиус-вектор третьей точки.

Уравнения плоскости

Векторная форма

$\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{1}\right)\left({\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1}\right)\left({\bar {r}}_{3}-{\bar {r}}_{1}\right)=0$

Координатная форма

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow {\begin{vmatrix}x&y&z&1\\x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow {\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}x-{\begin{vmatrix}x_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}y+{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}z-{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}(x-x_{1})-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}(y-y_{1})+{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{vmatrix}}(z-z_{1})=0$

Другие уравнения:

1. общее;
2. нормальное;
3. в отрезках;
4. параметрическое;
5. проходящей через три точки;
6. равноудалённой от двух точек;
7. равноудалённой от двух прямых;
8. проходящей через две точки параллельно прямой;
9. проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
10. проходящей через точку и прямую;
11. проходящей через точку перпендикулярно прямой;
12. проходящей через точку параллельно плоскости;
13. проходящей через точку параллельно двум прямым;
14. проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
15. проходящей через прямую параллельно прямой;
16. проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.