Плоскость, равноудалённая от двух точек

Плоскость, равноудалённая от двух точек — плоскость, все точки которой одинаково удалены от заданных точек.

Эта плоскость проходит через середину отрезка между точками, перпендикулярно этому отрезку.

Обозначения

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки плоскости;

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор первой точки;

${\bar {r}}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ — радиус-вектор второй точки;

${\bar {n}}_{3}=(A_{3},B_{3},C_{3})$ — нормаль к плоскости;

$A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3}=0$ — уравнение плоскости.

Уравнения плоскости

Векторная форма

$\left(\left({\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1}\right)\cdot \left({\bar {r}}-{\frac {{\bar {r}}_{1}+{\bar {r}}_{2}}{2}}\right)\right)=0\Leftrightarrow \left(\left({\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1}\right)\cdot {\bar {r}}\right)+{\frac {{\bar {r}}_{1}^{2}-{\bar {r}}_{2}^{2}}{2}}=0\Leftrightarrow \left({\bar {n}}_{3}\cdot {\bar {r}}\right)+D_{3}=0,\ {\bar {n}}_{3}={\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1},\ D_{3}={\frac {{\bar {r}}_{1}^{2}-{\bar {r}}_{2}^{2}}{2}}$

Координатная форма

$(x_{2}-x_{1})\left(x-{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)+(y_{2}-y_{1})\left(y-{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)+(z_{2}-z_{1})\left(z-{\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}\right)=0\Leftrightarrow (x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z+{\frac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+z_{1}^{2}-z_{2}^{2}}{2}}=0$

$\Leftrightarrow A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3}=0,\ A_{3}=x_{2}-x_{1},\ B_{3}=y_{2}-y_{1},\ C_{3}=z_{2}-z_{1},D_{3}={\frac {x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+y_{1}^{2}-y_{2}^{2}+z_{1}^{2}-z_{2}^{2}}{2}}$

Другие уравнения:

1. общее;
2. нормальное;
3. в отрезках;
4. параметрическое;
5. проходящей через три точки;
6. равноудалённой от двух точек;
7. равноудалённой от двух прямых;
8. проходящей через две точки параллельно прямой;
9. проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
10. проходящей через точку и прямую;
11. проходящей через точку перпендикулярно прямой;
12. проходящей через точку параллельно плоскости;
13. проходящей через точку параллельно двум прямым;
14. проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
15. проходящей через прямую параллельно прямой;
16. проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.