Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно вектору [6:31]

Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой, задаётся равенством нулю смешанного произведения векторов-разностей (радиусов-векторов соответствующих точек) и направляющего вектора прямой.

Обозначения

Введём обозначения:

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки плоскости;

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор первой точки;

${\bar {r}}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ — радиус-вектор второй точки;

${\bar {s}}_{3}=(l_{3},m_{3},n_{3})$ — направляющий вектор прямой.

Формулы:

Векторная форма:

$\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{1}\right)\left({\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1}\right){\bar {s}}_{3}=0$

Координатная форма:

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\l_{3}&m_{3}&n_{3}\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\m_{3}&n_{3}\end{vmatrix}}(x-x_{1})-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\l_{3}&n_{3}\end{vmatrix}}(y-y_{1})+{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\l_{3}&m_{3}\end{vmatrix}}(z-z_{1})=0$

• Заметим, что формулы уравнения плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой, аналогичны формулам уравнения плоскости, проходящей через точку и прямую.

Уравнения плоскости:

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух прямых;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.