Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению [14:49]

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой, задаётся равенством нулю скалярного произведения вектора-разности радиусов-векторов точек и направляющего вектора прямой.

Обозначения

Введём обозначения:

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки плоскости;

${\bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ — радиус-вектор точки;

${\bar {s}}_{1}=(l_{1},m_{1},n_{1})$ — направляющий вектор прямой;

Формулы:

Векторная форма:

$\left(\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{0}\right)\cdot {\bar {s}}_{1}\right)=0\Leftrightarrow \left({\bar {r}}\cdot {\bar {s}}_{1}\right)-\left({\bar {r}}_{0}\cdot {\bar {s}}_{1}\right)=0$

Координатная форма:

$l_{1}(x_{1}-x_{0})+m_{1}(y_{1}-y_{0})+n_{1}(z_{1}-z_{0})=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow l_{1}x+m_{1}y+n_{1}z-(l_{1}x_{0}+m_{1}y_{0}+n_{1}z_{0})=0$

Уравнения плоскости:

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух прямых;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970