Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида ay^’’ + by^’ + cy = f(x) (с правой частью).

Обозначения

x — переменная — аргумент функции;

y — переменная — функция;

a, b, c — постоянные коэффициенты;

y^’ — производная функции;

y^’’ — вторая производная функции;

f(x) — правая часть в дифференциальном уравнении.

Дифференциальное уравнение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ay''+by'+cy=f(x) \Leftrightarrow a\frac{d^2y}{dx}+b\frac{dy}{dx}+cy=f(x)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ar^2+br+c=0} — характеристическое уравнение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}} — корни характеристического уравнения.

Возможны три случая для корней характеристического уравнения:

• r₁ ≠ r₂ — два действительных неравных корня при b² > 4ac;
• r₁ = r₂ — два действительных равных корня при b² = 4ac;
• r_1,2 = α ± βi — два сопряжённых комплексных корня при b² < 4ac.

Введём дополнительные обозначения.

k — кратность корня в характеристическом уравнении;

P_n(x), Q_n(x) — многочлены n-степени.

Общее решение

Другие дифференциальные уравнения

1. с разделяющимися переменными;
2. однородное;
3. линейное;
4. уравнение Бернулли;
5. Уравнение в полных дифференциалах;
6. уравнение Клеро;
7. уравнение второго порядка, не содержащее y и y^’;
8. уравнение второго порядка, не содержащее y;
9. уравнение второго порядка, не содержащее x;
10. однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
11. неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
12. уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
13. однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
14. неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
15. общее дифференциальное уравнение.

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973, стр.569.

Ссылки

• Участник:Logic-samara