Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида ay^’’ + by^’ + cy = f(x) (с правой частью).

Обозначения

x — переменная — аргумент функции;

y — переменная — функция;

a, b, c — постоянные коэффициенты;

y^’ — производная функции;

y^’’ — вторая производная функции;

f(x) — правая часть в дифференциальном уравнении.

Дифференциальное уравнение

$ay''+by'+cy=f(x)\Leftrightarrow a{\frac {d^{2}y}{dx}}+b{\frac {dy}{dx}}+cy=f(x)$

$ar^{2}+br+c=0$ — характеристическое уравнение

$r_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ — корни характеристического уравнения.

Возможны три случая для корней характеристического уравнения:

• r₁ ≠ r₂ — два действительных неравных корня при b² > 4ac;
• r₁ = r₂ — два действительных равных корня при b² = 4ac;
• r_1,2 = α ± βi — два сопряжённых комплексных корня при b² < 4ac.

Введём дополнительные обозначения.

k — кратность корня в характеристическом уравнении;

P_n(x), Q_n(x) — многочлены n-степени.

Общее решение

Другие дифференциальные уравнения

• с разделяющимися переменными;
• однородное;
• линейное;
• уравнение Бернулли;
• уравнение в полных дифференциалах;
• уравнение Клеро;
• уравнение второго порядка, не содержащее y и y^’;
• уравнение второго порядка, не содержащее y;
• уравнение второго порядка, не содержащее x;
• однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
• однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• общее дифференциальное уравнение.

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973, стр.569.

Ссылки

• Участник:Logic-samara