Однородное дифференциальное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами

Однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида a_ny⁽ⁿ⁾ + … + a₁y^’ + a₀y = 0 (без правой части).

Обозначения

x — переменная — аргумент функции;

y — переменная — функция;

a_j — j-ый коэффициент в уравнении;

y^’ — производная функции;

…

y⁽ⁿ⁾ — n-ая производная функции.

Дифференциальное уравнение

 — характеристическое уравнение

Пусть среди корней характеристического уравнения m пар сопряжённых комплексных корней вида r_2j-1,2j=α_j±β_ji и (n-2m) действительных корней вида α_2m+j.

 — корни характеристического уравнения.

Общее решение

$y=\sum \limits _{j=1}^{m}e^{\alpha _{j}x}\left(C_{2j-1}\cos \beta _{j}x+C_{2j}\sin \beta _{j}x\right)+\sum \limits _{j=2m+1}^{n}C_{j}e^{\alpha _{j}x}$

Другие дифференциальные уравнения

• с разделяющимися переменными;
• однородное;
• линейное;
• уравнение Бернулли;
• уравнение в полных дифференциалах;
• уравнение Клеро;
• уравнение второго порядка, не содержащее y и y^’;
• уравнение второго порядка, не содержащее y;
• уравнение второго порядка, не содержащее x;
• однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
• однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• общее дифференциальное уравнение.

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973, стр.578.

Ссылки

• Участник:Logic-samara