Средняя величина

Средняя величина — обобщающий показатель статистической совокупности, который погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой.

В экономике средняя (применительно к зарплате/доходу) может критиковаться как манипулятивное понятие, не имеющее внятного экономического смысла.

Определения

Случайная величина — величина, которая в результате испытания примет одно и только одно числовое значение, зависящее от случайных факторов и заранее непредсказуемое.

Случайные величины бывают:

• непрерывными
• дискретными

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, которая в результате испытания принимает отдельные значения с определёнными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным и бесконечным.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая в результате испытания принимает все значения из некоторого числового промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Формально, заработная плата является дискретной величиной. Тем не менее, упрощённо может рассматриваться и как непрерывная.

Дифференциальная и интегральная функнции распределения

Закон распределения дискретной случайной величины — соответствие между возможными значениями этой величины и их вероятностями.

(Интегральная) функция распределения непрерывной случайной величины Х — функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х.

Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности) непрерывной случайной величины — первая производная от её интегральной функции. По смыслу близка к понятию закона распределения для дискретной случайной величины.

Понятие интегральной функции распределения для дискретных случайных величин — также используется.

Среднее (среднее значение) — некоторое число, заключённое между наибольшим и наименьшим значением множества чисел или функции.

Наиболее употребительными средними являются:

• среднее арифметическое
• среднее квадратичное
• среднее кубическое
• среднее степенное
• среднее геометрическое
• среднее гармоническое
• среднее Колмогорова

Отдельно выделяют средние взвешенные (средневзвешенные).

Распределения

Наиболее известными законами для распределений дискретных случайных величин являются:

• Биномальное распределение (при больших выборках приближается к нормальному распределению)
• Пуассоновское распределение
• Геометрическое распределение
• Гипергеометрическое распределение

Наиболее известными законами для распределения непрерывных случайных величин являются:

• Нормальное распределение (распределение Гаусса)
• Равномерное распределение
• Показательное (экспоненциальное) распределение

Относительно известными также являются:

• Распределение Пирсона
• Распределение Стьюдента
• Распределение Фишера
• Логистическое распределение
• Распределение Парето

• 

  Биномальные распределения

• 

  Пуассоновские распределения

• 

  Геометрические распределения

• 

  Гипергеометрические распределения

• 

  Нормальные распределения

• 

  Равномерное распределение

• 

  Показательные распределения

• 

  Распределения Пирсона

• 

  Распределения Стьюдента

• 

  Распределения Фишера

• 

  Логистические распределения

• 

  Распределения Парето

Нормальное распределение

 → Нормальное распределение

Нормальное распределение полностью характеризуется двумя параметрами:

• математическим ожиданием ($\mu$)
• среднеквадратическим отклонением ($\sigma$)

Медиана и мода нормального распределения совпадают и равны математическому ожиданию.

Коэффициенты асимметрии и эксцесса нормального распределения равны нулю.

Математическое ожидание нормального распределения приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Нормальные распределения проявляется тогда, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов, что характерно, преимущественно, для физических измерений.

Ассиметричные распределения

Ассиметричные распределения (mean — среднее арифметическое)

Для ассиметричных распределений вероятности понятие среднего арифметического — может быть крайне непоказательным.

Другие характеристики распределений

Квантиль (5 % процентиль)

Квантиль — число, для которого вероятность меньше заданной.

Квантиль K_1/2 — медиана случайной величины.

Квантили K_1/4 и K_3/4 — называют квартилями.

Квантили K_0,1, K_0,2,…, K_0,9 — децилями.

Процентиль (центиль, иногда, перцентиль от англ. Percentile) — значение количественной переменной, которое разделяет упорядоченные данные на группы таким образом, что определенный процент наблюдений имеет значения этой количественной переменной меньше значения процентиля.

Распределение доходов

Предполагаемый вид кривой распределения доходов/зарплаты. Ось абсцисс — величина дохода/зарплаты, ось ординат — вероятность (доля от общего количества). Повёрнуто и отражено относительно оригинала.

Информация о кривых распределения доходов/зарплаты — крайне редка и весьма отрывочна.

Некоторые исследователи предполагают, что она должна иметь «колоколобразный вид» с т. н. «длинным хвостом», что фактически исключает для неё релевантность понятия среднего арифметического для каких-либо практических целей и оставляет как инструмент практического анализа только квантили и моду.

Связанные определения

• Медиана — уровень показателя, который делит набор данных на две равные половины.
• Мода — значение в анализируемой совокупности данных, которое встречается чаще других.
• Асимметрия — числовое отображение степени отклонения графика распределения показателей от симметричного графика распределения.
• Эксцесс — показатель остроты пика графика распределения.

См.также

• Зарплата
• Доход
• Подоходный налог
• Кривая Лоренца
• Коэффициент Джини
• Индекс Робин Гуда (Индекс Гувера)
• Математическое ожидание