Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система (8-ричная система) — позиционная система счисления с основанием 8.

Обозначения:[править]

a₈ – натуральное число в восьмеричной системе счисления;

a₁₀ – натуральное число в десятичной системе счисления;

n – число цифр в числе a₈;

b_{j_8} – j-тая (справа-налево) восьмеричная цифра числа a₈, принимает значения цифр от 0 до 7;

b_{j_10} – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) восьмеричной цифре числа a₈, принимает значения от 0 до 7.

Формула числа[править]

С помощью n позиций в восьмеричной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до 8ⁿ-1, то есть всего 8ⁿ различных чисел.

Таблицы сложения:[править]

Таблица сложения в восьмеричной системе счисления[править]

Таблица сложения в десятичной системе счисления[править]

Таблицы умножения:[править]

Таблица умножения в восьмеричной системе счисления[править]

Таблица умножения в десятичной системе счисления[править]

Таблицы перевода:[править]

Таблица 2-ичных пар[править]

Цифра	0	1	2	3
Пара	00	01	10	11

Таблица 2-ичных триад[править]

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7
Триада	000	001	010	011	100	101	110	111

Таблица 2-ичных тетрад[править]

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Тетрада	0000	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

Таблица 4-ичных пар[править]

Цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
Пара	00	01	02	03	10	11	12	13	20	21	22	23	30	31	32	33

Таблица 8-ричных пар и 4-ичных триад[править]

4-ричная триада	8-ричная пара	4-ричная триада	8-ричная пара	4-ричная триада	8-ричная пара	4-ричная триада	8-ричная пара
000	00	100	20	200	40	300	60
001	01	101	21	201	41	301	61
002	02	102	22	202	42	302	62
003	03	103	23	203	43	303	63
010	04	110	24	210	44	310	64
011	05	111	25	211	45	311	65
012	06	112	26	212	46	312	66
013	07	113	27	213	47	313	67
020	10	120	30	220	50	320	70
021	11	121	31	221	51	321	71
022	12	122	32	222	52	322	72
023	13	123	33	223	53	323	73
030	14	130	34	230	54	330	74
031	15	131	35	231	55	331	75
032	16	132	36	232	56	332	76
033	17	133	37	233	57	333	77

Примеры алгоритмов:[править]

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную[править]

Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) триады опускаются (отбрасываются).

Перевод 8→2[править]

2637₈=010 110 011 111₂=10110011111₂

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную[править]

Исходное число восьмеричной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 7). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) триады цифр четверичной системы счисления.

Перевод 8→4[править]

2637₈=26 37₈=112 133₄=112133₄

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную через двоичную[править]

Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр двоичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары двоичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) цифры четверичной системы счисления.

Перевод 8→2→4[править]

2637₈=010 110 011 111₂=10110011111₂=01 01 10 01 11 11₂=112133₄

Перевод из восьмеричной системы счисления в десятичную[править]

Считается сумма произведений цифр восьмеричной системы счисления на веса разрядов (основание 8 в степени номер разряда, начиная с нулевого; нулевой разряд это разряд единиц, далее разряды десятков, сотен, тысяч и т.д.) в восьмеричной системе. Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.

Перевод 8→10[править]

2637₈=2˙8³+6˙8²+3˙8¹+7˙8⁰=2˙512+6˙64+3˙8+7˙1=1024+384+24+7=1439₁₀ => 2637₈=1439₁₀

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную через двоичную[править]

Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 8→2→16[править]

2637₈=010 110 011 111₂=10110011111₂=0101 1001 1111₂=59F₁₆

Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную через четверичную[править]

Исходное число восьмеричной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 7). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр восьмеричной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) триады цифр четверичной системы счисления. Далее число четверичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) цифры шестнадцатеричной системы счисления.

Перевод 8→4→16[править]

2637₈=26 37₈=112 133₄=112133₄=11 21 33₄=59F₁₆

Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную[править]

Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) пары цифр восьмеричной системы счисления.

Перевод 2→8[править]

10110011111₂=010 110 011 111₂=2637₈

Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную[править]

Исходное число четверичной системы счисления разбивается на триады цифр четверичной системы счисления, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем триады цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) пары цифр восьмеричной системы счисления.

Перевод 4→8[править]

112133₄=112 133₄=26 37₈=2637₈

Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную через двоичную[править]

Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных пар) пары цифр двоичной системы счисления. Полученное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть 0 или 1). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, или две цифры). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.

Перевод 4→2→8[править]

112133₄=01 01 10 01 11 11₂=10110011111₂=010 110 011 111₂=2637₈

Перевод из десятичной системы счисления в восьмеричную[править]

Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание 8 и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания 8. Затем выписываются цифры в восьмеричной системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. Полученное число является записью исходного числа в восьмеричной системе счисления.

Перевод 10→8[править]

=> 1439₁₀=2637₈

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную через двоичную[править]

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 2-ичных тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Полученное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может 0 или 1). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две цифры). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице 2-ичных триад) цифры восьмеричной системы счисления.

Перевод 16→2→8[править]

59F₁₆=0101 1001 1111₂=10110011111₂=010 110 011 111₂=2637₈

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную через четверичную[править]

Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице 4-ичных пар) пары цифр четверичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается). Далее число четверичной системы счисления разбивается на триады цифр, начиная с цифры единиц (самой правой цифры, она может быть от 0 до 3). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем триады цифр четверичной системы счисления заменяются на соответствующие (по таблице 8-ричных пар и 4-ичных триад) пары цифр восьмеричной системы счисления.

Перевод 16→4→8[править]

59F₁₆=11 21 33₄=112133₄=112 133₄=26 37₈=2637₈

Другие системы счисления:[править]