Евдокс Книдский

Евдокс Книдский

др.-греч. Εὔδοξος ὁ Κνίδιος

Дата рождения

408 до н. э.

Дата смерти

355 до н. э.

Научная сфера

математик, механик, астроном

Научный руководитель

Платон

Известные ученики

Каллипп, Менехм, Динострат

учёный

Евдокс Книдский (Эвдокс, др.-греч. Εὔδοξος, лат. Eudoxus) — древнегреческий математик, механик , астроном, врач, философ, музыкант, оратор и законовед.

Занимаясь теорией пропорциональных линий, открыл золотое сечение (деление прямой в среднем и крайнем отношениях); по свидетельству Архимеда, Евдоксу принадлежат теоремы, что объемы пирамиды и конуса равны трети объемов призмы и цилиндра тех же оснований и высот. Полагают, что Евдоксу принадлежит изобретение горизонтальных солнечных часов. Его модель солнечной системы, основанная на гомоцентрических сферах, знаменует рождение научной астрономии.

Происхождение

Евдокс, сын Эсхина, родился в Книде, спартанской колонии, между 408 и 390 гг. до н. э.:

Eudoxus was probably born between 410 and 400 BC. His birthplace was Cnidus, a city originally founded by the Spartans.

The Cnidus (or Knidos) that gives Eudoxus his toponym was a city on what is now the southern coast of Turkey. Standing at the head of an isthmus, Cnidus was a flourishing seaport with two harbours and was colonised by astute Spartans at an early date.

О глубокой связи Евдокса со спартанцами говорит тот факт, что он отправился в Египет с верительным письмом от спартанского царя Агесилая к фараону Нектанебу.

Образование

Учился медицине у Филистиона в Сицилии, потом математике (у пифагорейца Архита из Тарента, другой спартанской колонии), далее присоединился к школе Платона в Афинах. Около года провёл в Египте, изучал астрономию в Гелиополе.

Карьера

Позднее переселился в Кизик на Мраморном море, основал там собственную математико-астрономическую школу, читал лекции по философии, астрономии и метеорологии.

Примерно в 368 г. до н. э. вместе с частью учеников вернулся в Афины.

Вклад в науку

Астрономия

Файл:Eudoxus' Homocentric Spheres.png

Модель движения планет Евдокса. Каждая из его гомоцентрических сфер представлена ​​в виде кольца, вращающегося вокруг показанной оси. Самая внешняя (жёлтая) сфера совершает один оборот за сутки; вторая (синяя) описывает движение планеты по зодиаку; третья (зелёная) и четвёртая (красная) вместе движут планету по восьмёрке (или гиппопеде), объясняя ретроградное движение.

Некоторые из астрономических текстов Евдокса, названия которых сохранились, включают:

• Исчезновения Солнца (во время затмений)
• Октаэтерис (Ὀκταετηρίς), восьмилетний цикл лунно-солнечной Венеры календаря.
• «Феномена» (Φαινόμενα) и «Эноптрон» (Ἔνοπτρον) – по сферической астрономии , вероятно, основанные на наблюдениях, сделанных Евдоксом в Египте и Книде.
• О скоростях — о планетарных движениях

Согласно рассуждениям Евдокса, в центре мира находится Земля, вокруг которой расположены невидимые сферы. Для каждого небесного тела имеется определенное число сфер, сочетание движения которых и дает в итоге видимый путь объекта среди звезд. Например, с Луной связаны три сферы. Все они равномерно вращаются, но с неодинаковой скоростью, причем вокруг разных осей. Самая внешняя сфера совершает полный оборот вокруг Земли (т. е. центра Вселенной) в направлении восток—запад за 24 ч. Средняя сфера своей осью наклонена к плоскости эклиптики на 90° и совершает один оборот за 18 лет 230 дней, причем в направлении, противоположном первому. Внутренняя сфера вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости лунной орбиты, и один оборот занимает 27 и 1/3 суток. Внешняя сфера влияет своим движением на среднюю и обе вместе — на внутреннюю, и вся эта цепочка взаимодействий определяет наблюдаемое перемещение Луны на небе (в этой схеме наш спутник находится на экваторе внутренней сферы).

Движение пяти известных в древности планет Евдокс описал с помощью четырёх сфер: внешняя (период обращения одни сутки) описывает суточное движение планеты, вторая (период обращения равен сидерическому периоду планеты) описывает движение планеты по зодиаку, и в неё были последовательно вложены ещё две сферы, отвечавшие за попятные движения планеты. По Симпликию, третья и четвёртая сферы вращаются навстречу друг другу с одинаковыми периодами, равными синодическому периоду планеты; ось третьей сферы лежит на экваторе второй (то есть на эклиптике); ось четвёртой сферы наклонена по отношению к третьей; сочетание движений по этим сферам приводит к тому, что траектория планеты оказывается похожей на восьмёрку. Эту кривую Евдокс назвал гиппопедой, поскольку по форме она схожа с лошадиными путами.

Математика

Получил фундаментальные результаты в разных областях математики. В частности, при разработке своей астрономической модели он существенно продвинул сферическую геометрию. Но особенное значение имели созданные им две классические теории.

Общая теория отношений

Числовые системы древних греков ограничивались натуральными числами и их отношениями (дробями, рациональными числами). Однако ещё пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть отношение их длин не может быть представлено рациональным числом. Стало понятно, что пифагорейская арифметика должна быть каким-то образом расширена с тем, чтобы включать все результаты измерений. Это и сделал Евдокс. Его теория дошла до нас в изложении Евклида (Начала, книга V).

В дополнение к числам Евдокс ввёл более широкое понятие геометрической величины, то есть длины отрезка, площади или объёма. С современной точки зрения, число при таком подходе есть отношение двух однородных величин — например, исследуемой и единичного эталона. Этот подход снимает проблему несоизмеримости. По существу, теория отношений Евдокса — это геометрическая модель вещественных чисел. Следует, однако, подчеркнуть, что Евдокс остался верен прежней традиции — он не рассматривал такое отношение как число; из-за этого в «Началах» многие теоремы о свойствах чисел затем заново доказываются для величин. Признание иррациональностей как особого вида чисел произошло много позднее, под влиянием индийских и исламских математических школ.

В начале своего построения Евдокс дал аксиоматику для сравнения величин. Все однородные величины сравнимы между собой, и для них определены две операции: отделение части и соединение (взятие кратного). Однородность величин сформулирована в виде аксиомы, известной также как аксиома Архимеда: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга». Сам Архимед при изложении этой аксиомы сослался на Евдокса.

Далее Евдокс рассматривает отношения между величинами и определяет для них равенство:

Говорят, что величины находятся в том же отношении: первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой, каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.

В переводе на современный математический язык это означает, что отношения $a:b$ и $c:d$ равны, если для любых натуральных $m,n$ выполняется одно из трёх соотношений:

• либо $ma<nb$ и $mc<nd$;
• либо $ma=nb$ и $mc=nd$;
• либо $ma>nb$ и $mc>nd$.

Фактически описанное свойство означает, что между $a:b$ и $c:d$ нельзя вставить рациональное число. До Евдокса использовалось другое определение, через равенство последовательных вычитаний; это определение эквивалентно определению Евдокса, но сложнее в использовании. Современным языком это можно выразить как равенство цепных дробей для отношений $a:b$ и $c:d$.

Далее Евдокс аккуратно выводит свойства отношений: транзитивность, упорядоченность и т. д.

Классическая теория Дедекинда для построения вещественных чисел поразительно похожа на изложение Евдокса. Соответствие между ними устанавливается так: пусть заданы две величины Евдокса $a,b$; дробь $m/n$ отнесём к классу $A$, если $ma>nb$, иначе — к классу $B$. Тогда классы $A$ и $B$ определяют дедекиндово сечение поля рациональных чисел $\mathbb {Q}$. Осталось отождествить отношение по Евдоксу $b:a$ с этим дедекиндовым числом.

Тем не менее, у Евдокса отсутствует аналог аксиомы непрерывности, и ниоткуда не следует, что всякое сечение $\mathbb {Q}$ определяет вещественное число.

Метод исчерпывания

 → Метод исчерпывания

Это своего рода античный анализ криволинейных фигур. Обоснование этого метода не опирается на актуальные бесконечно малые, но неявно включает понятие предела. Название «метод исчерпывания» предложил в 1647 году Грегуар де Сен-Венсан, в античные времена у метода не было специального названия. Евклид изложил теорию метода исчерпывания в X книге «Начал», а в XII книге применил для доказательства нескольких теорем.

Файл:Archimedes pi.svg

Вычисление площади круга методом исчерпывания

Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры. Затем вычислялся предел последовательности площадей (объёмов), для чего выдвигалась гипотеза, что он равен некоторому A и доказывалось, что обратное приводит к противоречию. Поскольку общей теории пределов не было (греки избегали понятия бесконечности), все эти шаги, включая обоснование единственности предела, повторялись для каждой задачи.

В такой форме метод исчерпывания хорошо вписывался в строго дедуктивное построение античной математики, однако имел несколько существенных недостатков. Во-первых, он был исключительно громоздким. Во-вторых, не было никакого общего метода для вычисления предельного значения A; Архимед, например, нередко выводил его из механических соображений или просто интуитивно угадывал. Наконец, этот метод не пригоден для нахождения площадей бесконечных фигур.

С помощью метода исчерпывания Евдокс строго доказал ряд уже известных в те годы открытий (площадь круга, объём пирамиды и конуса).

Наиболее плодотворным этот метод стал в руках выдающегося последователя Евдокса, Архимеда, который смог его значительно усовершенствовать и виртуозно применял для многих новых открытий. В средние века европейские математики также применяли метод исчерпывания, пока он не был вытеснен сначала более мощным и технологичным методом неделимых, а затем — математическим анализом.

Этика

Аристотель в «Никомаховой этике» приписывает Евдоксу аргумент в пользу гедонизма, то есть того, что удовольствие — это высшее благо, к которому стремится деятельность.

Семья

У него было три дочери и сын Аристагор.

Умер на 53-м году жизни между 355 и 340 гг. до н. э. в родном Книде, окружённый славой и почётом.

Память

Кратеры на Марсе и Луне названы в его честь.