Линейная оболочка

Линейная оболочка (англ. Linear span) ${\mathcal {V}}(X)$ подмножества $X$ линейного пространства $V$ — пересечение всех подпространств $V$, содержащих $X$.

Линейная оболочка является минимальным линейным подпространством $V$, содержащим $X$. Для линейной оболочки часто используется обозначение span(X) или $\langle X\rangle .$

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным $X$. Говорят также, что линейная оболочка ${\mathcal {V}}(X)$ — пространство, натянутое на множество $X$.

Линейная оболочка ${\mathcal {V}}(X)$ состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из $X$. В частности, если $X$ — конечное множество, то ${\mathcal {V}}(X)$ состоит из всех линейных комбинаций элементов $X$. Таким образом, нулевой вектор всегда принадлежит линейной оболочке.

Определение: Возьмем векторное пространство $({\mathcal {V}},{\mathcal {F}})$ и множество векторов $S:=\{{\boldsymbol {x}}_{1},{\boldsymbol {x}}_{2},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}\}\in {\mathcal {V}}$. Линейной оболочкой $S$, то есть span(S) является множество всех векторов, являющихся линейной комбинацией векторов $S$:

${\text{Span}}(S):=\left\{\sum _{i=1}^{n}c_{i}{\boldsymbol {x}}_{i}\mid c_{1},\dots ,c_{n}\in {\mathcal {F}}\right\}$

Если $X$ — линейно независимое множество, то оно является базисом ${\mathcal {V}}(X)$ и тем самым определяет его размерность. Например, в геометрии два линейно независимых вектора порождают линейную оболочку плоскости.

Различные множества векторов могут иметь одну и ту же линейную оболочку. Даже если брать в качестве базиса конечное множество векторов, линейная оболочка образована бесконечным множеством векторов. За исключением случаев если базисом является нулевой вектор.

• Линейной оболочкой единственного вектора являются все произведения этого вектора на скаляр. В $\mathbb {R} ^{2}$ и $\mathbb {R} ^{3}$ линейной оболочкой единственного вектора будет прямая проходящая через начала координат.
• Линейной оболочкой множества, состоящего из двух непараллельных друг другу векторов в $\mathbb {R} ^{2}$ будет все $\mathbb {R} ^{2}$. В $\mathbb {R} ^{3}$ линейной оболочкой будет плоскость, пересекающая начало координат.
• Линейной оболочкой трех векторов в $\mathbb {R} ^{3}$, не лежащих в одной плоскости будет все $\mathbb {R} ^{3}$.

Определение того, находится ли вектор в линейной оболочке

Пусть $\nu$ — вектор в $\mathbb {R} ^{n}$, и $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ — векторы в $\mathbb {R} ^{n}$. Определим относится ли $\nu$ к линейной оболочке $b_{1},b_{2},...,b_{m}$. Это можно определить решив вопрос о том, является ли векторное уравнение $x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+...+x_{m}b_{m}=\nu$ совместным.

Например, пусть базисом линейной оболочки является множество векторов $S=\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}\right\}$ в $\mathbb {R} ^{3}$. Тогда векторное уравнение будет иметь вид $x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}=\nu$, где $b_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}$, $b_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}$

В этом примере любой вектор с нулевым третьим элементом является линейное комбинацией этих двух векторов. То есть, ${\begin{bmatrix}l\\k\\0\end{bmatrix}}=l{\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}+k{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}$

Все векторы с $x_{3}=0$ ($z=0$) образуют плоскость $xy$ в $\mathbb {R} ^{3}$, таким образом линейной оболочкой множества $S$ является плоскость $xy$.

Поскольку для определения того, является ли векторное уравнение совместным используется представление векторного уравнения, как и системы линейных алгебраических уравнений в виде расширенной матрицы и применения метода Гаусса, вопрос о том, находится ли вектор $\nu$ в линейной оболочке $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ решается следующим образом:

1. Векторное уравнение $x_{1}b_{1}+x_{2}b_{2}+...+x_{m}b_{m}=\nu$ записывается в форме расширенной матрицы;
2. Применяется метод Гаусса для определения, является ли расширенная матрица совместной;
3. Если матрица является совместной, то значит вектор $\nu$ принадлежит линейной оболочке $b_{1},b_{2},...,b_{m}$. В противном случае — не принадлежит.

Источники

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Линейная оболочка», расположенная по адресу: — https://руни.рф/index.php/Линейная_оболочка Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».