Линейное подпространство

Линейное подпространство, или векторное подпространство, ― непустое подмножество $K$ линейного пространства $V$ (или $R^{n}$) такое, что $K$ само является линейным пространством по отношению к определённым в $V$ (или $R^{n}$) действиям сложения и умножения на скаляр. Линейное подпространство это тоже, что и линейная оболочка без принятие во внимание конкретных векторов, являющихся базисом линейной оболочки. Множество всех подпространств обычно обозначают как $\mathrm {Lat} (V)$. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

1. оно было непустым: нулевой вектор также принадлежит $K$. Нулевой вектор принадлежит подпространству уже в силу нижеприведенных второго и третьего утверждения. То есть, если $v$ вектор подпространства $K$, которое удовлетворяет второму и третьему утверждению, то $0v=0$ также принадлежит подпространству $K$ согласно второму утверждению (умножение вектора на скаляр). Следовательно если подпространство $K$ удовлетворяет второму и третьему утверждению, то оно удовлетворяет и первому утверждению, что нулевой вектор принадлежит $K$. Однако в случае пустого множества $\{\}$, оно удовлетворет второму и третьему утверждению, но не удовлетворяет первому утверждению о принадлежности нулевого вектора к подпространству. Поэтому чтобы учесть этот случай первое утверждение обозначается как требование "непустого множества".

1. оно было замкнуто относительно операции умножения на скаляр: для всякого вектора $\mathbf {x} \in K$ вектор $\alpha \mathbf {x}$ также принадлежал $K$ при любом $\alpha \in F$;
2. оно было замкнуто относительно операции сложения: для всяких векторов $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K$ вектор $\mathbf {x} +\mathbf {y}$ также принадлежал $K$.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

для всяких векторов $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in K$ вектор $\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y}$ также принадлежал $K$ для любых $\alpha ,\beta \in F$.

То есть, так как согласно второму утверждению, если $\mathbf {x}$ , $\mathbf {y}$ векторы в $K$ и $\alpha$ $\beta$ - скаляр, то $\alpha \mathbf {x}$, $\beta \mathbf {y}$ принадлежат подпространству $K$. Следовательно, принимая во внимание третье утверждение, $\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y}$ принадлежат подпространству $K$. Отсюда мы можем утверждать что вся линейная оболочка ${\text{Span}}\{\mathbf {x} ,\mathbf {y} \}$ входит в подпространство $K$. Подпространство включает в себя линейную оболочку любых своих векторов, то есть если вектора $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ принадлежат подпространству $K$, то и линейная оболочка ${\text{Span}}\{v_{1},v_{2},...,v_{n}\}$ принадлежит подпространству $K$. Если выбрать достаточное количество векторов, то их линейная оболочка заполнит все подпространство $K$.

Векторное пространство, состоящее из одного лишь нулевого вектора, является подпространством любого пространства; любое пространство является подпространством самого себя. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными, или нетривиальными.

Свойства подпространств

• Пересечение любого семейства подпространств — снова подпространство;
• Сумма подпространств $\{K_{i}\mid i\in 1\ldots N\}$ определяется как множество, содержащее всевозможные суммы элементов $K_{i}$:

  $\sum _{i=1}^{N}{K_{i}}:=\{\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\ldots +\mathbf {x} _{N}\mid \mathbf {x} _{i}\in K_{i}\quad (i\in 1\ldots N)\}$.

  • Сумма конечного семейства подпространств — снова подпространство.

Примеры

• Множество $R^{n}$ является подпространством самого себя: оно содержит нуль и замкнуто относительно умножения на скаляр и сложения.
• Множество $\{0\}$, содержащее только нуль, является подпространством $R^{n}$, посокольку, во-первых, содержит нуль - соответствие первому утверждению; во-вторых, умножение любого скаляра на нуль дает нуль, следовательно множество замкнуто относительно умножения на скаляр - соответствие второму утверждению; в-третьих, сложение нулей дает нуль, следовательно множество замкнуто относительно сложения - соответствие третьему утверждению.
• Прямая, проходящая через начало координат, является подпространством, поскольку выполняются все три утверждения: включает в себя ноль, замкнуто относительно умножения на скаляр и сложения.

Файл:Плоскость как подпространство.svg

Плоскость, проходящая через начало координат, является подпространством.

• Плоскость, проходящая через начало координат, является подпространством.

Файл:Подпространство прямой и плоскости.svg

Объединение прямой и плоскости в $R^{3}$ не является подпространством, так как сумма векторов на прямой и плоскости не принадлежит множеству (не замкнуто относительно сложения)

• Объединение прямой и пространства в Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle R³} не является подпространством (См. рисунок). Оно содержат ноль и замкнуто относительно умножения на скаляр, но не замкнуто относительно сложения. Как видно на рисунке, вектор суммы (красным цветом) векторов на прямой (черным цветом) и на плоскости (черным цветом) не находится, ни на прямой, ни на плоскости. То есть условие замкнутости множества относительно сложения не выполнено.

Подпространство и линейная оболочка

Теорема (Линейные оболочки являются подпространствами, подпространства являются линейными оболочками). Пусть $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{p}$ любые векторы в $R^{n}$, тогда линейная оболочка ${\text{Span}}\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{p}\}$ является подпространством $R^{n}$. Любое подпространство $R^{n}$ может быть записано как линейная оболочка множества $p$ линейно независимых векторов в $R^{n}$ при Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle p ≤ n} .

Если для подпространства $V$ верно, что $V={\text{Span}}\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{p}\}$ то мы говорим, что подпространство $V$ натянуто на (порождено) векторы $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{p}$. Множество векторов $\{v_{1},v_{2},\ldots ,v_{p}\}$ называется базисом подпространства.

Любая матрица порождает два подпространства (См. также Способы представления системы линейных алгебраических уравнений. Строчное и столбцовое представление.). Возьмем матрицу $A$ размером $m\times n$.

1. Пространство столбцов матрицы $A$ это подпространство $R^{m}$ натянутое на вектор-столбцы матрицы $A$. Используется обозначение ${\text{Col}}(A)$.
2. Нуль-пространство матрицы $A$ - это подпространство $R^{n}$ состоящее из всех решений однородного уравнения $Ax=0$:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\bigm»): {\displaystyle \text{Nul}(A) = \bigl\{ x \in \R^n\bigm| Ax=0 \bigr\}}

Пример пространства столбцов и нуль-пространства

Например, для $A={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\\1&1\end{pmatrix}}$

пространством столбцов будет линейная оболочка столбцов $A$: ${\text{Col}}(A)={\text{Span}}\left\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\right\}={\text{Span}}\left\{{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\right\}$

Это прямая в $R^{3}$:

Нуль-пространством является множество решений однородного уравнения $Ax=0$. Для их нахождения необходимо применить метод Гаусса к матрице $A$. В результате получаем матрицу в ступенчатом виде:$A={\begin{pmatrix}1&1\\0&0\\0&0\end{pmatrix}}$. Он соответствует уравнению $x+y=0$ или

${\begin{cases}x=-y\\y=y\end{cases}}$, что дает параметрическую векторную форму ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}=y{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$

То есть, нуль-пространство это ${\text{Span}}\left\{{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\right\}$, что соответствует прямой в $R^{2}$:

Нуль-пространство и множество решений

Чтобы найти базис подпространства для нуль-пространства ${\text{Nul}}(A)$ необходимо определить параметрическую векторную форму решений однородной системы уравнений $Ax=0$. Векторы, связанные со свободными переменными, сформируют базис подпространства ${\text{Nul}}(A)$.

Нуль пространство матрицы это множество решений соответствующей однородной системы уравнений. И наоборот, множество решений однородной системы линейных уравнений это нуль пространство матрицы соответствующих коэффициентов однородной системы линейных уравнений. Для нахождения базиса подпростанства необходимо решить однородную систему линейных уравнений

Нахождение базиса подпространства

Для нахождения базиса подпростанства рекомендуется переписать подпространство как пространство столбцов или нуль-пространство (См. Линейное подпространство).

Нахождение базиса пространства столбцов

Ведущие столбцы матрицы A образуют базис подпространства столбцов матрицы ${\text{Col}}(A)$. Следует учитывать, что берутся ведущие столбцы исходной матрицы до применения к ней метода Гаусса для получения матрицы ступенчатого вида, поскольку пространство столбцов исходной матрицы не является пространством столбцов той же матрицы, приведенной в ступенчатый вид. Поскольку базисом ${\text{Col}}(A)$ являются ведущие столбцы $A$, их количество является размерностью пространства столбцов.

Нахождение базиса нуль-пространства

Для нахождения базиса нуль-пространства необходимо найти параметрическую векторную форму решений однородного уравнения $Ax=0$. Векторы связанные со свободными переменными в параметрической векторной форме решений множества уравнений $Ax=0$ образуют базис ${\text{Nul}}(A)$.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — 5-е. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 319 с. — ISBN 5-7913-0015-8.
• Гельфанд И. М.  Лекции по линейной алгебре. 5-е изд. — М.: Добросвет, МЦНМО, 1998. — 320 с. — ISBN 5-7913-0016-6.
• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Ч. 2: Линейная алгебра. — 3-е. — М.: Наука., 2004. — 368 с. — (Университетский учебник).
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е. — М.: Наука, 1970. — 400 с.

• Постников М. М. Линейная алгебра (Лекции по геометрии. Семестр II). — 2-е. — М.: Наука, 1986. — 400 с.
• Стренг Г. Линейная алгебра и её применения = Linear Algebra and Its Applications . — М.: Мир, 1980. — 454 с.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г.  Линейная алгебра. 6-е изд. — М.: Физматлит, 2010. — 280 с. — ISBN 978-5-9221-0481-4.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-Dimensional Vector Spaces . — М.: Физматгиз, 1963. — 263 с.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. — 5-е. — СПб.: Лань, 2007. — 416 с.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — 1-е. — М.: Физматлит, 2009. — 511 с.
• Шрейер О., Шпернер Г. Введение в линейную алгебру в геометрическом изложении = Einfuhrung in die analytische Geometrie und Algebra / Ольшанский Г. (перевод с немецкого). — М.–Л.: ОНТИ, 1934. — 210 с.

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Линейное подпространство», расположенная по адресу: — «https://руни.рф/index.php/Линейное_подпространство» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».