Методы интегрирования

Наука
Математика
Область математики
Тема	Интеграл
Предмет изучения	основные методы интегрирования
Период зарождения	XVII век
Основные направления	математика математический анализ
Вспомогат. дисциплины	алгебра, геометрия, математический анализ

Методы интегрирования — способы нахождения всех первообразных функции.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций. Тождественные преобразования строятся на применении свойств интеграла, таких как вынесение константы за знак интеграла или разложение интеграла суммы на сумму интегралов. Затем применяется таблица интегралов элементарных функций.

Обычно подобные преобразования во время интегрирования выполняются устно, записывая лишь полученный результат интегрирования.

Внесение под знак дифференциала (метод подстановки)

Данный метод состоит в использовании свойств дифференциала для приведения подынтегрального выражения к табличной форме. Подынтегральное выражение преобразовывается в функцию вида $f(g(x))d(g(x))$. Предположим, что существует такой неопределённый интеграл $\int f(g(x))*g\prime (x)dx$, где подынтегральная функция непрерывна. Пусть $t=g(x)$, тогда если вычислить дифференциал, то получится $dt=g\prime (x)dx$. Таким образом $\int f(g(x))*g\prime (x)dx=\int f(t)dt$, что после обратной замены равно $\int f(g(x))d(g(x))$.

Пример: Найти $\int \cos(2x)dx$.

Решение: Пусть $2x=t$, тогда $dt=2dx$, а $dx={\frac {1}{2}}dt$. Таким образом,Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \cos(2x) dx = \int \frac{1}{2} \cos(t) dt } Вынеся дробь за знак интеграла и применив обратную замену, найдем чему он будет равен с помощью таблицы интегралов:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{1}{2} \int \cos(t) dt = \frac{\sin(t)}{2} + C = \frac{\sin(2x)}{2} + C }

Интегрирование по частям

Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u=u(x)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v = v(x)} , тогда справедлива формула интегрирования по частям:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int udv=uv - \int vdu}

или

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int u v\prime dx=uv - \int v u\prime dx }

Пример: Найти Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int (x+3)e^x dx}

Решение: Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u=(x+3)} , а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dv=e^x dx} . Тогда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle du=dx} , a Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=e^x} . Подставив в формулу получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int (x+3)e^x dx = (x+3)e^x - \int e^x dx = (x+3)e^x - e^x+C= (x+2)+C} .

Интегрирование дробно-рациональных функций

Метод заключается разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Предположим, что существует функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)=\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{m}(x)}  — многочлен степени Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} , a Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{n}(x)}  — многочлен степени Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} .

Степень числителя больше или равна степени знаменателя

В таком случае надо выделить целую часть делением числителя Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{m}(x)} на знаменатель Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q_{n}(x)} , то есть представить дробь в виде:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}=G(x)+\frac{P_{v}(x)}{Q_{n}(x)}} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v<n} .

Степень числителя меньше степени знаменателя

В этом случае надо сначала разложить знаменатель Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q(x)} на линейные и квадратные множители: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Q(x)=(x-a)^k ...(x^2+px+q)^t } , где многочлен Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2+px+q } не имеет действительных корней.

Множителю Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x-a)^k } соответствует Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k } простейших дробей вида:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {A_1}{x-a} +\frac {A_2}{(x-a)^2} +...+\frac {A_k}{(x-a)^k} } ,

а множителю Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (x^2+px+q)^t } соответствует Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t } простейших дробей вида:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {B_1 x+C_1}{x^2+px+q}+\frac {B_2 x+C_2}{(x^2+px+q)^2}+...+\frac {B_t x+C_t}{(x^2+px+q)^t} } ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_i,B_j,C_j }  — произвольные постоянные, а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i=1,2,...,k } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j=1,2,...,t } .

Находим коэффициенты Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_i,B_j,C_j } , и в результате интеграл Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)} dx} сведётся к интегралу суммы многочлена и простейших дробей:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac {A_1}{x-a} +\frac {A_2}{(x-a)^2} +...+\frac {A_k}{(x-a)^k} + \frac {B_1 x+C_1}{x^2+px+q}+\frac {B_2 x+C_2}{(x^2+px+q)^2}+...+\frac {B_t x+C_t}{(x^2+px+q)^t} dx }

Пример: Найти Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{3x-1}{(x+2)(x+1)} dx }

Решение: Разложим дробь на сумму простейших, приведём к общему знаменателю и затем приравняем числители полученных дробей:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{3x-1}{(x+2)(x+1)} dx=\int \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+1} dx= \int \frac {A(x+1)+B(x+2)}{(x+2)(x+1)} dx }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3x-1=A(x+1)+B(x+2) } .

Найдем коэффициенты Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B } :

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3x-1=Ax+A+Bx+2B }

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3x-1=(A+B)x+(A+2B) }

отсюда получим систему линейных уравнений Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} A+B=3 \\ A+2B=-1 \end{cases} } ,

откуда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=7 } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B=-4 } .

Таким образом интеграл примет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \frac{3x-1}{(x+2)(x+1)} dx=\int \frac{7}{x+2} - \frac{4}{x+1} dx } .

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \sin {ax} \cos {bx}dx , \int \sin {ax} \sin {bx}dx , \int \cos {ax} \cos {bx}dx (a\neq b) } находятся с помощью формул:

1. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin {ax} \cos {bx} = \frac {1}{2} (\sin (a-b) x +\sin (a+b) x) }
2. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin {ax} \sin {bx} = \frac {1}{2} (\cos (a-b) x -\cos (a+b) x) }
3. Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos {ax} \cos {bx} = \frac {1}{2} (\cos (a-b) x + \cos (a+b) x) }

Пример: Найти Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \sin {5x} \cos {3x} dx } .

Решение: воспользуемся первой тригонометрической формулой:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \sin {5x} \cos {3x} dx = \int \frac {1}{2} (\sin (5-3) x +\sin (5+3) x)dx }

Далее, используя свойства дифференциала, получим сумму интегралов следующего вида:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {1}{2}\int \cos (8x) dx + \frac {1}{2}\int \sin (2x) dx }

Что будет равно:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac {1}{2}\biggl(-\frac{\cos(8x)}{8} - \frac{\cos(2x)}{2} \biggr) + C }

Интегралы вида Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \sin ^{2n+1} xdx , \int \cos ^{2n+1} xdx} , где n — натуральное число, находятся внесением под знак дифференциала (заменой переменной) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin x} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos x} .

Пример: найти Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \sin ^5 xdx} .

Решение: Разложим синус пятой степени на произведение синуса четвёртой степени и синуса первой степени:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \sin ^5 xdx = \int \sin ^4 x \sin xdx}

Представим синус четвёртой степени в виде разности единицы и косинуса с помощью основного тригонометрческого тождества и сразу внесём косинус под знак дифференциала. Получим:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \sin ^4x \sin xdx = -\int (1-\cos ^2x)^2d(\cos x) }

Разложим квадрат разности по формуле сокращенного умножения и найдем интеграл от каждого слагаемого:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\int (1-\cos ^2x)^2d(\cos x) = -\int (1-2\cos ^2x +\cos ^4x) d(\cos x) = -\cos x + \frac{2}{3}\cos ^2x - \frac {1}{5}\cos ^5 x +C }

Интегралы вида Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \sin ^{2n} xdx , \int \cos ^{2n} xdx} , где n — натуральное число, находятся с помощью тригонометрических формул понижения степени и дальнейшим внесением переменной под знак дифференциала.

Пример: найти Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \cos ^4x dx} .

Решение: понизим степень косинуса с помощью формулы понижения степени и разложим квадрат числителя по формуле сокращенного умножения:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \cos ^4x dx = \int \biggl( \frac{1+\cos 2x}{2}\biggr)^2 dx = \int \biggl( \frac{1+2\cos 2x+\cos ^2 2x}{2}\biggr) dx}

Далее приводим интеграл суммы к виду суммы интегралов, вносим 2х под знак дифференциала во втором интеграле, а в третьем еще раз применяем формулу понижения степени и вносим 4х под знак дифференциала:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \biggl( \frac{1+2\cos 2x+\cos ^2 2x}{2}\biggr) dx = \frac{1}{4} \int dx + \frac {1}{2} \int \cos 2x d(2x) + \frac {1}{8} \int \frac {1+\cos(4x)}{2} d(4x) }

Находим сумму интегралов:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{3}{8}x + \frac {1}{4} \sin (2x) + \frac {1}{32} \sin (4x) +C}

Чтобы найти интеграл вида Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int \sin ^m x \cos ^n x dx} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n}  — рациональные числа, применяют подстановку Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = \cos x} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t = \sin x } , сводят к интегралу от дифференциального бинома и в зависимости от структуры последнего берётся или нет.

Источники

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Знание.Вики» («znanierussia.ru») под названием «Основные методы интегрирования», расположенная по следующим адресам: — «https://baza.znanierussia.ru/mediawiki/index.php/Основные_методы_интегрирования» — «https://znanierussia.ru/articles/Основные_методы_интегрирования» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Знание.Вики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».