Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой
Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой, задаётся равенством нулю смешанного произведения векторов-разностей (радиусов-векторов соответствующих точек) и направляющего вектора прямой.
Содержание |
[править] Обозначения
Введём обозначения:
[math]\bar r=(x,y,z)[/math] — радиус-вектор точки плоскости;
[math]\bar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор первой точки;
[math]\bar r_2=(x_2,y_2,z_2)[/math] — радиус-вектор второй точки;
[math]\bar s_3=(l_3,m_3,n_3)[/math] — направляющий вектор прямой.
[править] Формулы:
Векторная форма:
- [math]\left(\bar r-\bar r_1\right)\left(\bar r_2-\bar r_1\right)\bar s_3=0[/math]
Координатная форма:
- [math]\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ l_3 & m_3 & n_3 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow[/math]
- [math]\Leftrightarrow \begin{vmatrix} y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ m_3 & n_3 \end{vmatrix}(x-x_1) -\begin{vmatrix} x_2-x_1 & z_2-z_1 \\ l_3 & n_3 \end{vmatrix}(y-y_1) +\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ l_3 & m_3 \end{vmatrix}(z-z_1)=0 [/math]
- Заметим, что формулы уравнения плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой, аналогичны формулам уравнения плоскости, проходящей через точку и прямую.
[править] Уравнения плоскости:
- уравнение плоскости, проходящей через три точки;
- уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
- уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
- уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
- уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
- уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
- уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
- уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
- уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
- уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
- уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.
[править] Литература
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.