Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой

Уравнение плоскости через 2 точки параллельно вектору [6:31]

Уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой, задаётся равенством нулю смешанного произведения векторов-разностей (радиусов-векторов соответствующих точек) и направляющего вектора прямой.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\bar r=(x,y,z)[/math] — радиус-вектор точки плоскости;

[math]\bar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор первой точки;

[math]\bar r_2=(x_2,y_2,z_2)[/math] — радиус-вектор второй точки;

[math]\bar s_3=(l_3,m_3,n_3)[/math] — направляющий вектор прямой.

Формулы:

Векторная форма:

[math]\left(\bar r-\bar r_1\right)\left(\bar r_2-\bar r_1\right)\bar s_3=0[/math]

Координатная форма:

[math]\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ l_3 & m_3 & n_3 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow \begin{vmatrix} y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ m_3 & n_3 \end{vmatrix}(x-x_1) -\begin{vmatrix} x_2-x_1 & z_2-z_1 \\ l_3 & n_3 \end{vmatrix}(y-y_1) +\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ l_3 & m_3 \end{vmatrix}(z-z_1)=0 [/math]

• Заметим, что формулы уравнения плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой, аналогичны формулам уравнения плоскости, проходящей через точку и прямую.

Уравнения плоскости:

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.