Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению [14:49]

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой, задаётся равенством нулю скалярного произведения вектора-разности радиусов-векторов точек и направляющего вектора прямой.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\bar r=(x,y,z)[/math] — радиус-вектор точки плоскости;

[math]\bar r_0=(x_0,y_0,z_0)[/math] — радиус-вектор точки;

[math]\bar s_1=(l_1,m_1,n_1)[/math] — направляющий вектор прямой;

Формулы:

Векторная форма:

[math]\left(\left(\bar r-\bar r_0\right)\cdot\bar s_1\right)=0 \Leftrightarrow \left(\bar r \cdot \bar s_1\right)-\left(\bar r_0 \cdot \bar s_1\right)=0[/math]

Координатная форма:

[math]l_1(x_1-x_0)+m_1(y_1-y_0)+n_1(z_1-z_0)=0 \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow l_1x+m_1y+n_1z-(l_1x_0+m_1y_0+n_1z_0)=0[/math]

Уравнения плоскости:

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970