Уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек

Будем считать, что плоскость, равноудалённая от двух точек, — это плоскость, все точки которой одинаково удалены от заданных точек. Тогда эта плоскость проходит через середину отрезка между точками перпендикулярно этому отрезку.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\displaystyle{ \bar r=(x,y,z) }[/math] — радиус-вектор точки плоскости;

[math]\displaystyle{ \bar r_1=(x_1,y_1,z_1) }[/math] — радиус-вектор первой точки;

[math]\displaystyle{ \bar r_2=(x_2,y_2,z_2) }[/math] — радиус-вектор второй точки;

[math]\displaystyle{ \bar n_3=(A_3,B_3,C_3) }[/math] — нормаль к плоскости;

[math]\displaystyle{ A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0 }[/math] — уравнение плоскости.

Формулы:

Векторная форма:

[math]\displaystyle{ \left(\left(\bar r_2-\bar r_1\right)\cdot\left(\bar r-\frac{\bar r_1+\bar r_2}{2}\right)\right)=0 \Leftrightarrow \left(\left(\bar r_2-\bar r_1\right)\cdot \bar r\right)+\frac{\bar r_1^2-\bar r_2^2}{2}=0 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow \left(\bar n_3 \cdot \bar r\right)+D_3=0, \ \bar n_3=\bar r_2-\bar r_1, \ D_3=\frac{\bar r_1^2-\bar r_2^2}{2} }[/math]

Координатная форма:

[math]\displaystyle{ (x_2-x_1)\left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right) + (y_2-y_1)\left(y-\frac{y_1+y_2}{2}\right) +(z_2-z_1)\left(z-\frac{z_1+z_2}{2}\right)=0 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow (x_2-x_1)x+(y_2-y_1)y+(z_2-z_1)z+\frac{x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2+z_1^2-z_2^2}{2}=0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0, \ A_3=x_2-x_1, \ B_3=y_2-y_1, \ C_3=z_2-z_1, }[/math]

[math]\displaystyle{ D_3=\frac{x_1^2-x_2^2+y_1^2-y_2^2+z_1^2-z_2^2}{2} }[/math]

Уравнения плоскости:

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.