Уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости, задаётся равенством нулю смешанного произведения векторов-разностей соответствующих радиусов-векторов точек и нормали к плоскости.

Обозначения

Введём обозначения:

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки плоскости;

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор первой точки;

${\bar {r}}_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2})$ — радиус-вектор второй точки;

${\bar {n}}_{3}=(A_{3},B_{3},C_{3})$ — нормаль к плоскости;

$A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3}=0$ — уравнение плоскости.

Формулы:

Векторная форма:

$\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{1}\right)\left({\bar {r}}_{2}-{\bar {r}}_{1}\right){\bar {n}}_{3}=0$

Координатная форма:

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\A_{3}&B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\B_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}(x-x_{1})-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\A_{3}&C_{3}\end{vmatrix}}(y-y_{1})+{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\A_{3}&B_{3}\end{vmatrix}}(z-z_{1})=0$

Уравнения плоскости:

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух прямых;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.162.