Уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой

Уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой, задаётся равенством нулю смешанного произведения вектора-разности радиусов-векторов точек и направляющих векторов прямых.

Обозначения

Введём обозначения:

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки плоскости;

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор точки первой прямой;

${\bar {s}}_{1}=(l_{1},m_{1},n_{1})$ — направляющий вектор первой прямой;

${\bar {s}}_{2}=(l_{2},m_{2},n_{2})$ — направляющий вектор второй прямой.

Формулы

Векторная форма: $\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{1}\right){\bar {s}}_{1}{\bar {s}}_{2}=0$.

Координатная форма:

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\l_{1}&m_{1}&n_{1}\\l_{2}&m_{2}&n_{2}\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\begin{vmatrix}m_{1}&n_{1}\\m_{2}&n_{2}\end{vmatrix}}(x-x_{1})-{\begin{vmatrix}l_{1}&n_{1}\\l_{2}&n_{2}\end{vmatrix}}(y-y_{1})+{\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}\\l_{2}&m_{2}\end{vmatrix}}(z-z_{1})=0$

• Заметим, что формулы уравнения плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой, аналогичны формулам уравнения плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым.

Уравнения плоскости

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух прямых;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.187.