Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости, задаётся равенством нулю скалярного произведения вектора-разности радиусов-векторов точек и нормали к плоскости.

Обозначения

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки плоскости;

${\bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ — радиус-вектор точки;

${\bar {n}}_{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ — нормаль к плоскости;

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ — уравнение плоскости.

Уравнения плоскости

Векторная форма

$\left(\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{0}\right)\cdot {\bar {n}}_{1}\right)=0\Leftrightarrow \left({\bar {r}}\cdot {\bar {n}}_{1}\right)-\left({\bar {r}}_{0}\cdot {\bar {n}}_{1}\right)=0$

Координатная форма

$A_{1}(x-x_{0})+B_{1}(y-y_{0})+C_{1}(z-z_{0})=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z-(A_{1}x_{0}+B_{1}y_{0}+C_{1}z_{0})=0$

Другие уравнения:

1. общее;
2. нормальное;
3. в отрезках;
4. параметрическое;
5. проходящей через три точки;
6. равноудалённой от двух точек;
7. равноудалённой от двух прямых;
8. проходящей через две точки параллельно прямой;
9. проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
10. проходящей через точку и прямую;
11. проходящей через точку перпендикулярно прямой;
12. проходящей через точку параллельно плоскости;
13. проходящей через точку параллельно двум прямым;
14. проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
15. проходящей через прямую параллельно прямой;
16. проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.162.