Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости, задаётся равенством нулю смешанного произведения вектора-разности радиусов-векторов точек, направляющего вектора прямой и нормали к плоскости.

Обозначения

Введём обозначения:

[math]\bar r=(x,y,z)[/math] — радиус-вектор точки плоскости;

[math]\bar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор точки прямой;

[math]\bar s_1=(l_1,m_1,n_1)[/math] — направляющий вектор прямой;

[math]\bar n_2=(A_2,B_2,C_2)[/math] — нормаль к плоскости;

[math]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0[/math] — уравнение плоскости.

Формулы:

Векторная форма: [math]\left(\bar r-\bar r_1\right)\bar s_1\bar n_2=0[/math].

Координатная форма:

[math]\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ l_1 & m_1 & n_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow \begin{vmatrix} m_1 & n_1 \\ B_2 & C_2 \end{vmatrix}(x-x_1) -\begin{vmatrix} l_1 & n_1 \\ A_2 & C_2 \end{vmatrix}(y-y_1) +\begin{vmatrix} l_1 & m_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix}(z-z_1)=0 [/math]

Уравнения плоскости:

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.