Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости, задаётся равенством нулю смешанного произведения вектора-разности радиусов-векторов точек, направляющего вектора прямой и нормали к плоскости.

Обозначения

Введём обозначения:

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки плоскости;

${\bar {r}}_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ — радиус-вектор точки прямой;

${\bar {s}}_{1}=(l_{1},m_{1},n_{1})$ — направляющий вектор прямой;

${\bar {n}}_{2}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ — нормаль к плоскости;

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ — уравнение плоскости.

Формулы:

Векторная форма: $\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{1}\right){\bar {s}}_{1}{\bar {n}}_{2}=0$.

Координатная форма:

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\l_{1}&m_{1}&n_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\begin{vmatrix}m_{1}&n_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}(x-x_{1})-{\begin{vmatrix}l_{1}&n_{1}\\A_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}(y-y_{1})+{\begin{vmatrix}l_{1}&m_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}(z-z_{1})=0$

Уравнения плоскости:

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух прямых;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.