Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям, задаётся равенством нулю смешанного произведения вектора-разности радиусов-векторов точек и нормалей к плоскостям.

Обозначения

Введём обозначения:

${\bar {r}}=(x,y,z)$ — радиус-вектор точки плоскости;

${\bar {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ — радиус-вектор точки;

${\bar {n}}_{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ — нормаль к первой плоскости;

${\bar {n}}_{2}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ — нормаль ко второй плоскости;

$A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0$ — уравнение первой плоскости;

$A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0$ — уравнение второй плоскости.

Формулы

Векторная форма: $\left({\bar {r}}-{\bar {r}}_{0}\right){\bar {n}}_{1}{\bar {n}}_{2}=0$.

Координатная форма:

${\begin{vmatrix}x-x_{0}&y-y_{0}&z-z_{0}\\A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\begin{vmatrix}B_{1}&C_{1}\\B_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}(x-x_{0})-{\begin{vmatrix}A_{1}&C_{1}\\A_{2}&C_{2}\end{vmatrix}}(y-y_{0})+{\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\A_{2}&B_{2}\end{vmatrix}}(z-z_{0})=0$

Уравнения плоскости

• уравнение плоскости, проходящей через три точки;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух точек;
• уравнение плоскости, равноудалённой от двух прямых;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через две точки перпендикулярно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости;
• уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум прямым;
• уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно двум плоскостям;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой;
• уравнение плоскости, проходящей через прямую перпендикулярно плоскости.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр. 163.