Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
§41 Уравнение плоскости, проходящей через три данные плоскости // Мемория Высшая Математика [10:36]

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, задаётся равенством нулю смешанного произведения векторов разностей радиусов-векторов точек (кроме одной) и радиус-вектора одной точки.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

[math]\bar r=(x,y,z)[/math] — радиус-вектор точки плоскости;

[math]\bar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор первой точки;

[math]\bar r_2=(x_2,y_2,z_2)[/math] — радиус-вектор второй точки;

[math]\bar r_3=(x_3,y_3,z_3)[/math] — радиус-вектор третьей точки.

[править] Формулы:

Векторная форма:

[math]\left(\bar r-\bar r_1\right)\left(\bar r_2-\bar r_1\right)\left(\bar r_3-\bar r_1\right)=0[/math]

Координатная форма:

[math]\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow [/math]
[math]\Leftrightarrow \begin{vmatrix} y_1 & z_1 & 1 \\ y_2 & z_2 & 1 \\ y_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix}x-\begin{vmatrix} x_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & z_3 & 1 \end{vmatrix}y+\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}z- \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}= 0\Leftrightarrow [/math]
[math]\Leftrightarrow \begin{vmatrix} y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}(x-x_1) -\begin{vmatrix} x_2-x_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix}(y-y_1) +\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 \end{vmatrix}(z-z_1)=0 [/math]

[править] Уравнения плоскости:

[править] Другие уравнения:

[править] Виды формул:

[править] Литература

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты