Логическая функция

Лекция 14: Логические функции // НОУ ИНТУИТ [8:22]

Алгебра логики: Логические переменные и логические функции // Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [8:19]

Логическая функция — это функция, аргументами которой являются только булевы переменные (принимающие значения из множества {0,1}) и которая на любом наборе значений этих аргументов принимает значения из множества {0,1}.

Виды логических функций:

Одноместные (унарные) функции

$f(x_{1})=0$ — константа 0

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x_{1})=1} — константа 1

$f(x_{1})=x_{1}$ — тождественность

$f(x_{1})={\bar {x}}_{1}$ — отрицание

Двухместные (бинарные) функции

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=0}  — константа 0

$f(x_{1},x_{2})=1$ — константа 1

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}}  — тождественность x₁

$f(x_{1},x_{2})=x_{2}$ — тождественность x₂

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x_{1},x_{2})={\bar {x}}_{1}}  — отрицание x₁

$f(x_{1},x_{2})={\bar {x}}_{2}$ — отрицание x₂

$f(x_{1},x_{2})=x_{1}\lor x_{2}$ — дизъюнкция

$f(x_{1},x_{2})=x_{1}\land x_{2}$ — конъюнкция

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}\leftrightarrow x_{2}}  — эквивалентность (равнозначность)

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}} — разделительная дизъюнкция (неравнозначность)

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}\downarrow x_{2}} — стрелка Пирса (антидизъюнкция)

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}|x_{2}} — штрих Шеффера (антиконъюнкция)

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}\rightarrow x_{2}} — импликация: x₁ имплицирует x₂

Невозможно разобрать выражение (Ошибка преобразования. Сервер («https://wikimedia.org/api/rest_») сообщил: «Cannot get mml. Server problem.»): {\displaystyle f(x_{1},x_{2})=x_{1}\leftarrow x_{2}} — обратная импликация: x₂ имплицирует x₁

$f(x_{1},x_{2})={\overline {x_{1}\rightarrow x_{2}}}$ — отрицание импликации

$f(x_{1},x_{2})={\overline {x_{1}\leftarrow x_{2}}}$ — отрицание обратной импликации

• Значения логической функции задаются с помощью таблицы истинности или определяются по формулам.
• Логическая функция является предикатом, определённым на множестве {0,1}.

Приоритеты логических операций:

• Выражение в скобках.
• Отрицание.
• Конъюнкция.
• Дизъюнкция.
• Импликация и Обратная импликация.
• Эквиваленция.

Нормальные формы логической функции:

• совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ);
• совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ);
• минимальная дизъюнктивная нормальная форма (МДНФ);
• минимальная конъюнктивная нормальная форма (МКНФ);
• алгебраическая нормальная форма (АНФ).

См. также

• Логические операции

Другие понятия

1. Логический закон;
2. Логические функции:
   1. отрицание;
   2. дизъюнкция;
   3. конъюнкция;
   4. разделительная дизъюнкция;
   5. импликация;
   6. обратная импликация;
   7. эквиваленция;
   8. стрелка Пирса;
   9. штрих Шеффера;
   10. полином Жегалкина;
3. Нормальные формы:
   1. совершенная дизъюнктивная нормальная форма;
   2. совершенная конъюнктивная нормальная форма;
   3. минимальная дизъюнктивная нормальная форма;
   4. минимальная конъюнктивная нормальная форма;
   5. алгебраическая нормальная форма;
4. Таблица истинности;
5. Карта Карно;
6. Трёхмерная карта Карно;
7. Предикат;
8. Секвенции;
9. Суждение;
10. Умозаключения:
    1. превращения;
    2. обращения;
    3. противопоставления предикату;
    4. противопоставления субъекту;
    5. чисто условные;
11. силогизмы:
    1. условно-категорические;
    2. разделительно-категорические;
    3. эквивалентно-категорические.