Логический закон

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Алгебра логики: Законы алгебры логики. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [13:03]

Логический закон — это формула из логических выражений в виде равенства, принимающая только истинное значение при любых значениях переменных.

Логический закон является тождественно-истинным предикатом, определённым на множестве {0,1}.

Содержание

[править] Виды логических законов:

[править] Основные законы:

[math]x_1=x_1[/math] — закон тождества
[math]x_1 \lor \bar x_1 = 1[/math] — закон исключённого третьего
[math]x_1 \land \bar x_1 = 0[/math] — закон непротиворечия

[править] Аксиомы:

[math]x_1 \lor 0 = x_1[/math] — дизъюнкция с константой 0
[math]x_1 \lor 1 = 1[/math] — дизъюнкция с константой 1
[math]x_1 \land 0 = 0[/math] — конъюнкция с константой 0
[math]x_1 \land 1 = x_1[/math] — конъюнкция с константой 1
[math]x_1 \lor x_1 = x_1[/math] — идемпотентность (независимость от повторения) дизъюнкции
[math]x_1 \land x_1 = x_1[/math] — идемпотентность (независимость от повторения) конъюнкции
[math]x_1 \lor x_2 = x_2 \lor x_1[/math] — коммутативность (переместительность) дизъюнкции
[math]x_1 \land x_2 = x_2 \land x_1[/math] — коммутативность (переместительность) конъюнкции
[math](x_1 \lor x_2) \lor x_3 = x_1 \lor (x_2 \lor x_3)[/math] — ассоциативность (сочетательность) дизъюнкции
[math](x_1 \land x_2) \land x_3 = x_1 \land (x_2 \land x_3)[/math] — ассоциативность (сочетательность) конъюнкции
[math]x_1 \lor (x_2 \land x_3) = (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3)[/math] — дистрибутивность (распределительность) дизъюнкции относительно конъюнкции
[math]x_1 \land (x_2 \lor x_3) = (x_1 \land x_2) \lor (x_1 \land x_3)[/math] — дистрибутивность (распределительность) конъюнкции относительно дизъюнкции

[править] Дополнительные законы:

[math]{\overline {\overline x}}_1=x_1[/math] — закон двойного отрицания
[math]\overline {x_1 \lor x_2}=\bar x_1 \land \bar x_2[/math] — закон де Моргана отрицания дизъюнкции
[math]\overline {x_1 \land x_2}=\bar x_1 \lor \bar x_2[/math] — закон де Моргана отрицания конъюнкции
[math]x_1 \lor (x_1 \land x_2)=x_1[/math] — закон поглощения конъюнкции
[math]x_1 \land (x_1 \lor x_2)=x_1[/math] — закон поглощения дизъюнкции
[math](x_1 \land x_2) \lor (x_1 \land \bar x_2) =x_1[/math] — закон склеивания конъюнкций
[math](x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor \bar x_2) =x_1[/math] — закон склеивания дизъюнкций

[править] Эквиваленции:

[math]x_1 \rightarrow x_2 = \bar x_1 \lor x_2[/math] — формула импликации
[math]x_1 \leftarrow x_2 = x_1 \lor \bar x_2[/math] — формула обратной импликации
[math]x_1 \downarrow x_2 = \bar x_1 \land \bar x_2[/math] — формула стрелки Пирса
[math]x_1 | x_2 = \bar x_1 \lor \bar x_2[/math] — формула штриха Шеффера
[math]x_1 \leftrightarrow x_2 = (x_1 \land x_2) \lor (\bar x_1 \land \bar x_2)[/math] — дизъюнктивная формула эквивалентности
[math]x_1 \leftrightarrow x_2 = (\bar x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor \bar x_2)[/math] — конъюнктивная формула эквивалентности
[math]x_1 \underline \lor x_2 = (\bar x_1 \land x_2) \lor (x_1 \land \bar x_2)[/math] — дизъюнктивная формула разделительной дизъюнкции
[math]x_1 \underline \lor x_2 = (x_1 \lor x_2) \land (\bar x_1 \lor \bar x_2)[/math] — конъюнктивная формула разделительной дизъюнкции
[math]\overline{x_1 \lor x_2} = x_1 \downarrow x_2[/math] — отрицание дизъюнкции
[math]\overline{x_1 \land x_2} = x_1 | x_2[/math] — отрицание конъюнкции
[math]\overline{x_1 \rightarrow x_2} = x_1 \land \bar x_2[/math] — отрицание импликации
[math]\overline{x_1 \leftarrow x_2} = \bar x_1 \land x_2[/math] — отрицание обратной импликации
[math]\overline{x_1 \downarrow x_2} = x_1 \lor x_2[/math] — отрицание стрелки Пирса
[math]\overline{x_1 | x_2} = x_1 \land x_2[/math] — отрицание штриха Шеффера
[math]\overline{x_1 \leftrightarrow x_2} = x_1 \underline \lor x_2[/math] — отрицание эквивалентности
[math]\overline{x_1 \underline \lor x_2} = x_1 \leftrightarrow x_2[/math] — отрицание разделительной дизъюнкции

[править] Другие понятия:

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты