Логический закон

Алгебра логики: Законы алгебры логики. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [13:03]

Логический закон — это формула из логических выражений в виде равенства, принимающая только истинное значение при любых значениях переменных.

Логический закон является тождественно-истинным предикатом, определённым на множестве {0,1}.

Виды логических законов:

Основные законы:

$x_{1}=x_{1}$ — закон тождества

$x_{1}\lor {\bar {x}}_{1}=1$ — закон исключённого третьего

$x_{1}\land {\bar {x}}_{1}=0$ — закон непротиворечия

Аксиомы:

$x_{1}\lor 0=x_{1}$ — дизъюнкция с константой 0

$x_{1}\lor 1=1$ — дизъюнкция с константой 1

$x_{1}\land 0=0$ — конъюнкция с константой 0

$x_{1}\land 1=x_{1}$ — конъюнкция с константой 1

$x_{1}\lor x_{1}=x_{1}$ — идемпотентность (независимость от повторения) дизъюнкции

$x_{1}\land x_{1}=x_{1}$ — идемпотентность (независимость от повторения) конъюнкции

$x_{1}\lor x_{2}=x_{2}\lor x_{1}$ — коммутативность (переместительность) дизъюнкции

$x_{1}\land x_{2}=x_{2}\land x_{1}$ — коммутативность (переместительность) конъюнкции

$(x_{1}\lor x_{2})\lor x_{3}=x_{1}\lor (x_{2}\lor x_{3})$ — ассоциативность (сочетательность) дизъюнкции

$(x_{1}\land x_{2})\land x_{3}=x_{1}\land (x_{2}\land x_{3})$ — ассоциативность (сочетательность) конъюнкции

$x_{1}\lor (x_{2}\land x_{3})=(x_{1}\lor x_{2})\land (x_{1}\lor x_{3})$ — дистрибутивность (распределительность) дизъюнкции относительно конъюнкции

$x_{1}\land (x_{2}\lor x_{3})=(x_{1}\land x_{2})\lor (x_{1}\land x_{3})$ — дистрибутивность (распределительность) конъюнкции относительно дизъюнкции

Дополнительные законы:

${\overline {\overline {x}}}_{1}=x_{1}$ — закон двойного отрицания

${\overline {x_{1}\lor x_{2}}}={\bar {x}}_{1}\land {\bar {x}}_{2}$ — закон де Моргана отрицания дизъюнкции

${\overline {x_{1}\land x_{2}}}={\bar {x}}_{1}\lor {\bar {x}}_{2}$ — закон де Моргана отрицания конъюнкции

$x_{1}\lor (x_{1}\land x_{2})=x_{1}$ — закон поглощения конъюнкции

$x_{1}\land (x_{1}\lor x_{2})=x_{1}$ — закон поглощения дизъюнкции

$(x_{1}\land x_{2})\lor (x_{1}\land {\bar {x}}_{2})=x_{1}$ — закон склеивания конъюнкций

$(x_{1}\lor x_{2})\land (x_{1}\lor {\bar {x}}_{2})=x_{1}$ — закон склеивания дизъюнкций

Эквиваленции:

$x_{1}\rightarrow x_{2}={\bar {x}}_{1}\lor x_{2}$ — формула импликации

$x_{1}\leftarrow x_{2}=x_{1}\lor {\bar {x}}_{2}$ — формула обратной импликации

$x_{1}\downarrow x_{2}={\bar {x}}_{1}\land {\bar {x}}_{2}$ — формула стрелки Пирса

$x_{1}|x_{2}={\bar {x}}_{1}\lor {\bar {x}}_{2}$ — формула штриха Шеффера

$x_{1}\leftrightarrow x_{2}=(x_{1}\land x_{2})\lor ({\bar {x}}_{1}\land {\bar {x}}_{2})$ — дизъюнктивная формула эквивалентности

$x_{1}\leftrightarrow x_{2}=({\bar {x}}_{1}\lor x_{2})\land (x_{1}\lor {\bar {x}}_{2})$ — конъюнктивная формула эквивалентности

$x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}=({\bar {x}}_{1}\land x_{2})\lor (x_{1}\land {\bar {x}}_{2})$ — дизъюнктивная формула разделительной дизъюнкции

$x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}=(x_{1}\lor x_{2})\land ({\bar {x}}_{1}\lor {\bar {x}}_{2})$ — конъюнктивная формула разделительной дизъюнкции

${\overline {x_{1}\lor x_{2}}}=x_{1}\downarrow x_{2}$ — отрицание дизъюнкции

${\overline {x_{1}\land x_{2}}}=x_{1}|x_{2}$ — отрицание конъюнкции

${\overline {x_{1}\rightarrow x_{2}}}=x_{1}\land {\bar {x}}_{2}$ — отрицание импликации

${\overline {x_{1}\leftarrow x_{2}}}={\bar {x}}_{1}\land x_{2}$ — отрицание обратной импликации

${\overline {x_{1}\downarrow x_{2}}}=x_{1}\lor x_{2}$ — отрицание стрелки Пирса

${\overline {x_{1}|x_{2}}}=x_{1}\land x_{2}$ — отрицание штриха Шеффера

${\overline {x_{1}\leftrightarrow x_{2}}}=x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}$ — отрицание эквивалентности

${\overline {x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}}}=x_{1}\leftrightarrow x_{2}$ — отрицание разделительной дизъюнкции

Другие понятия:

• Логический закон;
• Логические функции:

1. отрицание;
2. дизъюнкция;
3. конъюнкция;
4. разделительная дизъюнкция;
5. импликация;
6. обратная импликация;
7. эквиваленция;
8. стрелка Пирса;
9. штрих Шеффера;
10. полином Жегалкина;

• Нормальные формы:

1. совершенная дизъюнктивная нормальная форма;
2. совершенная конъюнктивная нормальная форма;
3. минимальная дизъюнктивная нормальная форма;
4. минимальная конъюнктивная нормальная форма;
5. алгебраическая нормальная форма;

• Таблица истинности;
• Карта Карно;
• Трёхмерная карта Карно;
• Предикат;
• Секвенции;
• Суждение;
• Умозаключения:

1. превращения;
2. обращения;
3. противопоставления предикату;
4. противопоставления субъекту;
5. чисто условные;
6. силогизмы;
7. условно-категорические;
8. разделительно-категорические;
9. эквивалентно-категорические.