Логический закон

Алгебра логики: Законы алгебры логики. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [13:03]

Логический закон — это формула из логических выражений в виде равенства, принимающая только истинное значение при любых значениях переменных.

Логический закон является тождественно-истинным предикатом, определённым на множестве {0,1}.

Виды логических законов:

Основные законы:

$x_{1}=x_{1}$ — закон тождества

$x_{1}\lor {\bar {x}}_{1}=1$ — закон исключённого третьего

$x_{1}\land {\bar {x}}_{1}=0$ — закон непротиворечия

Аксиомы:

$x_{1}\lor 0=x_{1}$ — дизъюнкция с константой 0

$x_{1}\lor 1=1$ — дизъюнкция с константой 1

$x_{1}\land 0=0$ — конъюнкция с константой 0

$x_{1}\land 1=x_{1}$ — конъюнкция с константой 1

$x_{1}\lor x_{1}=x_{1}$ — идемпотентность (независимость от повторения) дизъюнкции

$x_{1}\land x_{1}=x_{1}$ — идемпотентность (независимость от повторения) конъюнкции

$x_{1}\lor x_{2}=x_{2}\lor x_{1}$ — коммутативность (переместительность) дизъюнкции

$x_{1}\land x_{2}=x_{2}\land x_{1}$ — коммутативность (переместительность) конъюнкции

$(x_{1}\lor x_{2})\lor x_{3}=x_{1}\lor (x_{2}\lor x_{3})$ — ассоциативность (сочетательность) дизъюнкции

$(x_{1}\land x_{2})\land x_{3}=x_{1}\land (x_{2}\land x_{3})$ — ассоциативность (сочетательность) конъюнкции

$x_{1}\lor (x_{2}\land x_{3})=(x_{1}\lor x_{2})\land (x_{1}\lor x_{3})$ — дистрибутивность (распределительность) дизъюнкции относительно конъюнкции

$x_{1}\land (x_{2}\lor x_{3})=(x_{1}\land x_{2})\lor (x_{1}\land x_{3})$ — дистрибутивность (распределительность) конъюнкции относительно дизъюнкции

Дополнительные законы:

${\overline {\overline {x}}}_{1}=x_{1}$ — закон двойного отрицания

${\overline {x_{1}\lor x_{2}}}={\bar {x}}_{1}\land {\bar {x}}_{2}$ — закон де Моргана отрицания дизъюнкции

${\overline {x_{1}\land x_{2}}}={\bar {x}}_{1}\lor {\bar {x}}_{2}$ — закон де Моргана отрицания конъюнкции

$x_{1}\lor (x_{1}\land x_{2})=x_{1}$ — закон поглощения конъюнкции

$x_{1}\land (x_{1}\lor x_{2})=x_{1}$ — закон поглощения дизъюнкции

$(x_{1}\land x_{2})\lor (x_{1}\land {\bar {x}}_{2})=x_{1}$ — закон склеивания конъюнкций

$(x_{1}\lor x_{2})\land (x_{1}\lor {\bar {x}}_{2})=x_{1}$ — закон склеивания дизъюнкций

Эквиваленции:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 \rightarrow x_2 = \bar x_1 \lor x_2}  — формула импликации

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 \leftarrow x_2 = x_1 \lor \bar x_2} — формула обратной импликации

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 \downarrow x_2 = \bar x_1 \land \bar x_2} — формула стрелки Пирса

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 | x_2 = \bar x_1 \lor \bar x_2} — формула штриха Шеффера

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 \leftrightarrow x_2 = (x_1 \land x_2) \lor (\bar x_1 \land \bar x_2)} — дизъюнктивная формула эквивалентности

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 \leftrightarrow x_2 = (\bar x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor \bar x_2)} — конъюнктивная формула эквивалентности

$x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}=({\bar {x}}_{1}\land x_{2})\lor (x_{1}\land {\bar {x}}_{2})$ — дизъюнктивная формула разделительной дизъюнкции

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1 \underline \lor x_2 = (x_1 \lor x_2) \land (\bar x_1 \lor \bar x_2)} — конъюнктивная формула разделительной дизъюнкции

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{x_1 \lor x_2} = x_1 \downarrow x_2} — отрицание дизъюнкции

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{x_1 \land x_2} = x_1 | x_2} — отрицание конъюнкции

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{x_1 \rightarrow x_2} = x_1 \land \bar x_2} — отрицание импликации

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{x_1 \leftarrow x_2} = \bar x_1 \land x_2} — отрицание обратной импликации

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{x_1 \downarrow x_2} = x_1 \lor x_2} — отрицание стрелки Пирса

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{x_1 | x_2} = x_1 \land x_2} — отрицание штриха Шеффера

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \overline{x_1 \leftrightarrow x_2} = x_1 \underline \lor x_2} — отрицание эквивалентности

${\overline {x_{1}{\underline {\lor }}x_{2}}}=x_{1}\leftrightarrow x_{2}$ — отрицание разделительной дизъюнкции

Другие понятия:

1. Логический закон;
2. Логические функции:
   1. отрицание;
   2. дизъюнкция;
   3. конъюнкция;
   4. разделительная дизъюнкция;
   5. импликация;
   6. обратная импликация;
   7. эквиваленция;
   8. стрелка Пирса;
   9. штрих Шеффера;
   10. полином Жегалкина;
3. Нормальные формы:
   1. совершенная дизъюнктивная нормальная форма;
   2. совершенная конъюнктивная нормальная форма;
   3. минимальная дизъюнктивная нормальная форма;
   4. минимальная конъюнктивная нормальная форма;
   5. алгебраическая нормальная форма;
4. Таблица истинности;
5. Карта Карно;
6. Трёхмерная карта Карно;
7. Предикат;
8. Секвенции;
9. Суждение;
10. Умозаключения:
    1. превращения;
    2. обращения;
    3. противопоставления предикату;
    4. противопоставления субъекту;
    5. чисто условные;
11. силогизмы:
    1. условно-категорические;
    2. разделительно-категорические;
    3. эквивалентно-категорические.