Логический закон

Алгебра логики: Законы алгебры логики. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд» [13:03]

Логический закон — это формула из логических выражений в виде равенства, принимающая только истинное значение при любых значениях переменных.

Логический закон является тождественно-истинным предикатом, определённым на множестве {0,1}.

Виды логических законов:

Основные законы:

[math]x_1=x_1[/math] — закон тождества

[math]x_1 \lor \bar x_1 = 1[/math] — закон исключённого третьего

[math]x_1 \land \bar x_1 = 0[/math] — закон непротиворечия

Аксиомы:

[math]x_1 \lor 0 = x_1[/math] — дизъюнкция с константой 0

[math]x_1 \lor 1 = 1[/math] — дизъюнкция с константой 1

[math]x_1 \land 0 = 0[/math] — конъюнкция с константой 0

[math]x_1 \land 1 = x_1[/math] — конъюнкция с константой 1

[math]x_1 \lor x_1 = x_1[/math] — идемпотентность (независимость от повторения) дизъюнкции

[math]x_1 \land x_1 = x_1[/math] — идемпотентность (независимость от повторения) конъюнкции

[math]x_1 \lor x_2 = x_2 \lor x_1[/math] — коммутативность (переместительность) дизъюнкции

[math]x_1 \land x_2 = x_2 \land x_1[/math] — коммутативность (переместительность) конъюнкции

[math](x_1 \lor x_2) \lor x_3 = x_1 \lor (x_2 \lor x_3)[/math] — ассоциативность (сочетательность) дизъюнкции

[math](x_1 \land x_2) \land x_3 = x_1 \land (x_2 \land x_3)[/math] — ассоциативность (сочетательность) конъюнкции

[math]x_1 \lor (x_2 \land x_3) = (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3)[/math] — дистрибутивность (распределительность) дизъюнкции относительно конъюнкции

[math]x_1 \land (x_2 \lor x_3) = (x_1 \land x_2) \lor (x_1 \land x_3)[/math] — дистрибутивность (распределительность) конъюнкции относительно дизъюнкции

Дополнительные законы:

[math]{\overline {\overline x}}_1=x_1[/math] — закон двойного отрицания

[math]\overline {x_1 \lor x_2}=\bar x_1 \land \bar x_2[/math] — закон де Моргана отрицания дизъюнкции

[math]\overline {x_1 \land x_2}=\bar x_1 \lor \bar x_2[/math] — закон де Моргана отрицания конъюнкции

[math]x_1 \lor (x_1 \land x_2)=x_1[/math] — закон поглощения конъюнкции

[math]x_1 \land (x_1 \lor x_2)=x_1[/math] — закон поглощения дизъюнкции

[math](x_1 \land x_2) \lor (x_1 \land \bar x_2) =x_1[/math] — закон склеивания конъюнкций

[math](x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor \bar x_2) =x_1[/math] — закон склеивания дизъюнкций

Эквиваленции:

[math]x_1 \rightarrow x_2 = \bar x_1 \lor x_2[/math] — формула импликации

[math]x_1 \leftarrow x_2 = x_1 \lor \bar x_2[/math] — формула обратной импликации

[math]x_1 \downarrow x_2 = \bar x_1 \land \bar x_2[/math] — формула стрелки Пирса

[math]x_1 | x_2 = \bar x_1 \lor \bar x_2[/math] — формула штриха Шеффера

[math]x_1 \leftrightarrow x_2 = (x_1 \land x_2) \lor (\bar x_1 \land \bar x_2)[/math] — дизъюнктивная формула эквивалентности

[math]x_1 \leftrightarrow x_2 = (\bar x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor \bar x_2)[/math] — конъюнктивная формула эквивалентности

[math]x_1 \underline \lor x_2 = (\bar x_1 \land x_2) \lor (x_1 \land \bar x_2)[/math] — дизъюнктивная формула разделительной дизъюнкции

[math]x_1 \underline \lor x_2 = (x_1 \lor x_2) \land (\bar x_1 \lor \bar x_2)[/math] — конъюнктивная формула разделительной дизъюнкции

[math]\overline{x_1 \lor x_2} = x_1 \downarrow x_2[/math] — отрицание дизъюнкции

[math]\overline{x_1 \land x_2} = x_1 | x_2[/math] — отрицание конъюнкции

[math]\overline{x_1 \rightarrow x_2} = x_1 \land \bar x_2[/math] — отрицание импликации

[math]\overline{x_1 \leftarrow x_2} = \bar x_1 \land x_2[/math] — отрицание обратной импликации

[math]\overline{x_1 \downarrow x_2} = x_1 \lor x_2[/math] — отрицание стрелки Пирса

[math]\overline{x_1 | x_2} = x_1 \land x_2[/math] — отрицание штриха Шеффера

[math]\overline{x_1 \leftrightarrow x_2} = x_1 \underline \lor x_2[/math] — отрицание эквивалентности

[math]\overline{x_1 \underline \lor x_2} = x_1 \leftrightarrow x_2[/math] — отрицание разделительной дизъюнкции

Другие понятия:

• логический закон;
• логическая функция;
• таблица истинности;
• карта Карно;
• трёхмерная карта Карно;
• полином Жегалкина;
• предикат;
• секвенции;
• силлогизм;
• суждение;
• умозаключение.