Элементарная матрица

Элементарная матрица - (англ. elementary matrix) квадратная матрица, полученная в результате осуществления элементарных преобразований строк или столбцов единичной матрицы. При построении элементарной матрицы допускается только одно элементарное преобразование, но оно может осуществлятся несколько раз.

Определение. Пусть $E$ - матрица $n\times n$. Матрица $E$ является элементарной матрицей если она получена в результате одного элементарного преобразования над строками единичной матрицы $I$, имеющей размер $n\times n$. Если применялось преобразование перестановка строк, то матрица $E$ называется матрицей перестановок.

Элементарная матрица используется чтобы заменить элементарные преобразования. Умножение слева на элементарную матрицу $E$ дает тот же результат, что и применение элементарных преобразований для получения элементарной матрицы $E$.

Чтобы применить любое элементарное преобразование к матрице $A$ достаточно получить произведение $EA$, где $E$ - это элементарная матрица, полученная в результатет применения необходимого элементарного преобразования строк к единичной матрице.

Примеры элементарных матриц

Элементарная матрица полученная элементарным преобразованием перестановка строк единичной матрицы:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\nonumber»): {\displaystyle E = \left[ \begin{bmatrix}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right]\nonumber} Эта матрица называется матрицей перестановок.

Элементарная матрица полученная элементарным преобразованием умножение второй строки единичной матрицы на $3$:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\nonumber»): {\displaystyle E = \left[ \begin{bmatrix}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right]\nonumber}

Элементарная матрица полученная элементарным преобразованием прибалвение -3 раз первой строки ко второй строке единичной матрицы:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\nonumber»): {\displaystyle E = \left[ \begin{bmatrix}{rr} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \right]\nonumber}

Шаблон:Вектора и матрицы

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Элементарная матрица», расположенная по адресу: — https://руни.рф/index.php/Элементарная_матрица Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».