Матрица исключения

Матрица исключения (англ. elimination matrix) - это матрица, которая вычитает кратное $l$ количество строк $j$ из строк $i$. Матрица исключения равна единичной матрице за исключением ненулевого значения $-l$, в элементе $i,j$.

Для последовательного исключения неизвестных из системы линейных алгебраических уравнений осуществляется умножение на матрицы исключения. Последовательное исключения неизвестных из системы линейных алгебраических уравнений осуществляется на основе теории исключения. Все преобразования, осуществляемые при исключении неизвестных могут быть осуществлены матрицами. Эти матрицы называются матрицами исключения. Эти преобразования также могут быть обращены. Основным действием исключения является вычитание кратного $l_{ij}$ количества уравнений $j$ из уравнения $i$.

Рассмотрим пример матрицы ${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$:

$A={\begin{bmatrix}3&1&0\\-3&1&1\\6&8&4\end{bmatrix}}$

Если $a_{21}=-3$, а $a_{11}=3$, как в примере, то мы вычитаем $l_{21}=-1{\text{-кратно}}$ (то есть, складываем один раз) уравнение $1$ (строка 1) из уравнения $2$ (строка 2). Таким образом, во второй строке первый элемент становится равным нулю. Матрица исключения, которая -1 раз вычитает первую строку из второй при умножении будет иметь вид:

$E_{21}={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Следовательно: $E_{21}A={\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1&0\\-3&1&1\\6&8&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&1&0\\0&2&1\\6&8&4\end{bmatrix}}$

Для получения нуля в элементе $a_{31}$ вычтем $l_{31}=2{\text{-кратно}}$ (то есть, вычтем два раза) строку 1 из строки 3 полученной в предыдущем умножении матрицы $E_{21}A$ умножаем ее на матрицу $E_{31}$, в которой элемент $a_{31}=-2$ (вычитание два раза):

$E_{31}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{bmatrix}}$

Таким образом, для получения двух нулей в первом столбце матрицы, чтобы этот столбец стал ведущим процедуры теории исключения осуществляются в следующим умножении матриц:

$E_{31}E_{21}A={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1&0\\-3&1&1\\6&8&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&1&0\\0&2&1\\0&6&4\end{bmatrix}}$

Чтобы получить ноль в позиции $a_{32}$ необходимо в полученной матрице $E_{31}E_{21}A$ строку 2 вычесть $l_{32}=3{\text{-кратно}}$ раз из строки 3:

$(E_{32})(E_{31}E_{21}A)={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-3&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1&0\\0&2&1\\0&6&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&1&0\\0&2&1\\0&0&1\end{bmatrix}}=U$

Запись $(E_{32})(E_{31}E_{21}A)$ означает что матрица исключения $E_{32}$ осуществляет вычитание строки не из исходной матрицы $A$, а из матрицы полученной на предыдущих шагах, ассоциативность умножения матриц допускается только внутри данных скобок. В результате этого последнего шага теории исключения мы получаем матрицу $U$, у которой все столбцы являются ведущими, ведущие элементы находятся на главной диагонали матрицы, матрица имеет верхний треугольный вид.

Иключение осуществляется умножением $A$ на $E_{21},\ldots ,E_{n1}$ потом на $E_{32},\ldots ,E_{n2}$ пока матрица $A$ не станет $EA=U$ (с верхним треугольным видом), где индексы обозначают: первая цифра - из какой строки производится вычитание (уменьшаемое), вторая цифра - какая строка вычитается (вычитаемое). В данном уравнении $E$ - произведение всех матриц исключения $E_{ij}$.

Матрица, обратная матрице исключения

Матрица, являющаяся обратной для матрицы исключения $E_{ij}$, наоборот, производит сложение строки $j$ кратное $l_{ij}$ к строке $i$. Так, в примере выше матрица исключения $E_{32}$ вычитает вторую строку из третьей три раза, обратная ей матрица $(E_{32})^{-1}$, напротив, прибавляет вторую строку к третьей три раза. Таким образом мы можем получаем матрицу обратную произведению матриц исключения, в примере выше - $E_{32}E_{31}E_{21}$. Поскольку матрица обратная матрице исключения специфична она имеет собственное обозначение $L$ (См. также LU-разложение).

При порядке преобразований, обратном последовательному исключению, матрица, обратная $E$, помноженная на верхнюю треугольную матрицу $U$ возвращает исходную матрицу $A=E^{-1}U$: $A=LU$.

Недостаток применения матрицы исключения $E$, являющейся произведением всех матриц исключения $E_{ij}$, состоит в том, что она не дает хорошей формулы с множителями $l_{ij}$ расположенными каждый на своем месте:

$E=E_{32}E_{31}E_{21}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-l_{32}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-l_{31}&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\-l_{21}&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\-l_{21}&1&0\\(l_{32}l_{21}-l_{31})&-l_{32}&1\end{bmatrix}}$

Этот недостаток исчезает в матрице, обратной матрице исключения $E^{-1}=L$:

$E^{-1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\l_{31}&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&l_{32}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\end{bmatrix}}=L$

Все множители $l_{ij}$ встают на свои места в $L$. Это верно для всех матриц.

См. также

• Теория исключения
• Элементарные преобразования матрицы

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Матрица исключения», расположенная по адресу: — https://руни.рф/Матрица_исключения Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».