Матрица исключения

Матрица исключения (англ. elimination matrix) - это матрица, которая вычитает кратное Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l} количество строк Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j} из строк Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} . Матрица исключения равна единичной матрице за исключением ненулевого значения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -l} , в элементе Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i, j} .

Для последовательного исключения неизвестных из системы линейных алгебраических уравнений осуществляется умножение на матрицы исключения. Последовательное исключения неизвестных из системы линейных алгебраических уравнений осуществляется на основе теории исключения. Все преобразования, осуществляемые при исключении неизвестных могут быть осуществлены матрицами. Эти матрицы называются матрицами исключения. Эти преобразования также могут быть обращены. Основным действием исключения является вычитание кратного Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_{ij}} количества уравнений Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j} из уравнения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} .

Рассмотрим пример матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}} :

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\-3 & 1 & 1 \\ 6 & 8 & 4 \end{bmatrix}}

Если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{21}=-3} , а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{11}=3} , как в примере, то мы вычитаем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_{21}=-1\text{-кратно}} (то есть, складываем один раз) уравнение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} (строка 1) из уравнения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2} (строка 2). Таким образом, во второй строке первый элемент становится равным нулю. Матрица исключения, которая -1 раз вычитает первую строку из второй при умножении будет иметь вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{21}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}

Следовательно: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{21}A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\-3 & 1 & 1 \\ 6 & 8 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 \\ 6 & 8 & 4 \end{bmatrix} }

Для получения нуля в элементе Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{31}} вычтем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_{31}=2\text{-кратно} } (то есть, вычтем два раза) строку 1 из строки 3 полученной в предыдущем умножении матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{21}A} умножаем ее на матрицу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{31}} , в которой элемент Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{31}=-2} (вычитание два раза):

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{31}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} }

Таким образом, для получения двух нулей в первом столбце матрицы, чтобы этот столбец стал ведущим процедуры теории исключения осуществляются в следующим умножении матриц:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{31}E_{21}A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\-3 & 1 & 1 \\ 6 & 8 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 4 \end{bmatrix} }

Чтобы получить ноль в позиции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_{32}} необходимо в полученной матрице Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{31}E_{21}A} строку 2 вычесть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_{32}=3\text{-кратно} } раз из строки 3:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (E_{32})(E_{31}E_{21}A)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 4 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 \\0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}=U}

Запись Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (E_{32})(E_{31}E_{21}A)} означает что матрица исключения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{32}} осуществляет вычитание строки не из исходной матрицы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} , а из матрицы полученной на предыдущих шагах, ассоциативность умножения матриц допускается только внутри данных скобок. В результате этого последнего шага теории исключения мы получаем матрицу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U} , у которой все столбцы являются ведущими, ведущие элементы находятся на главной диагонали матрицы, матрица имеет верхний треугольный вид.

Иключение осуществляется умножением Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{21},\ldots,E_{n1}} потом на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{32},\ldots,E_{n2}} пока матрица Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} не станет Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle EA=U} (с верхним треугольным видом), где индексы обозначают: первая цифра - из какой строки производится вычитание (уменьшаемое), вторая цифра - какая строка вычитается (вычитаемое). В данном уравнении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} - произведение всех матриц исключения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{ij}} .

Матрица, обратная матрице исключения

Матрица, являющаяся обратной для матрицы исключения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{ij}} , наоборот, производит сложение строки Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j} кратное Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle l_{ij}} к строке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i} . Так, в примере выше матрица исключения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{32}} вычитает вторую строку из третьей три раза, обратная ей матрица Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (E_{32})^{-1}} , напротив, прибавляет вторую строку к третьей три раза. Таким образом мы можем получаем матрицу обратную произведению матриц исключения, в примере выше - Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_{32}E_{31}E_{21}} . Поскольку матрица обратная матрице исключения специфична она имеет собственное обозначение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} (См. также LU-разложение).

При порядке преобразований, обратном последовательному исключению, матрица, обратная Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} , помноженная на верхнюю треугольную матрицу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U} возвращает исходную матрицу Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A=E^{-1}U} : $A=LU$.

Недостаток применения матрицы исключения $E$, являющейся произведением всех матриц исключения $E_{ij}$, состоит в том, что она не дает хорошей формулы с множителями $l_{ij}$ расположенными каждый на своем месте:

$E=E_{32}E_{31}E_{21}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-l_{32}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-l_{31}&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\-l_{21}&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\-l_{21}&1&0\\(l_{32}l_{21}-l_{31})&-l_{32}&1\end{bmatrix}}$

Этот недостаток исчезает в матрице, обратной матрице исключения $E^{-1}=L$:

$E^{-1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\l_{31}&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&l_{32}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\l_{21}&1&0\\l_{31}&l_{32}&1\end{bmatrix}}=L$

Все множители $l_{ij}$ встают на свои места в $L$. Это верно для всех матриц.

См. также

• Теория исключения
• Элементарные преобразования матрицы

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Руниверсалис» («Руни», руни.рф) под названием «Матрица исключения», расположенная по адресу: — https://руни.рф/Матрица_исключения Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC BY-SA. Всем участникам Руниверсалиса предлагается прочитать «Обращение к участникам Руниверсалиса» основателя Циклопедии и «Почему Циклопедия?».