Площадь поверхности тетраэдра

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Тетраэдр

Площадь поверхности тетраэдра — это сумма площадей его (тетраэдра) граней.

Тетраэдр — это четырёхгранник с гранями из треугольников.

Содержание

[править] Обозначения

Введём обозначения:

[math]\bar r_1=(x_1,y_1,z_1)[/math] — радиус-вектор первой точки;

[math]\bar r_2=(x_2,y_2,z_2)[/math] — радиус-вектор второй точки;

[math]\bar r_3=(x_3,y_3,z_3)[/math] — радиус-вектор третьей точки;

[math]\bar r_4=(x_4,y_4,z_4)[/math] — радиус-вектор четвёртой точки;

[math]\bar n=(A,B,C)[/math] — нормаль к плоскости, проходящей через три заданные точки;

SΔ — площадь грани тетраэдра, построенной по трём заданным точкам;

Sтетр — площадь поверхности тетраэдра, построенного по четырём заданным точкам.

[править] Формулы

[math]S_\text{тетр}=\frac{1}{2}\left(\left|\bar n_{123}\right|+\left|\bar n_{124}\right|+\left|\bar n_{134}\right|+\left|\bar n_{234}\right|\right) \Leftrightarrow S_\text{тетр}=S_{\triangle123}+S_{\triangle124}+S_{\triangle134}+S_{\triangle234}[/math]

где

[math]S_{\triangle123}=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{vmatrix} 1 & y_1 & z_1 \\ 1 & y_2 & z_2 \\ 1 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & 1 & z_1 \\ x_2 & 1 & z_2 \\ x_3 & 1 & z_3 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix}^2}[/math]
[math]S_{\triangle124}=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{vmatrix} 1 & y_1 & z_1 \\ 1 & y_2 & z_2 \\ 1 & y_4 & z_4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & 1 & z_1 \\ x_2 & 1 & z_2 \\ x_4 & 1 & z_4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_4 & y_4 & 1\end{vmatrix}^2}[/math]
[math]S_{\triangle134}=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{vmatrix} 1 & y_1 & z_1 \\ 1 & y_3 & z_3 \\ 1 & y_4 & z_4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & 1 & z_1 \\ x_3 & 1 & z_3 \\ x_4 & 1 & z_4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & 1\end{vmatrix}^2}[/math]
[math]S_{\triangle234}=\frac{1}{2}\sqrt{\begin{vmatrix} 1 & y_2 & z_2 \\ 1 & y_3 & z_3 \\ 1 & y_4 & z_4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_2 & 1 & z_2 \\ x_3 & 1 & z_3 \\ x_4 & 1 & z_4 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \\ x_4 & y_4 & 1\end{vmatrix}^2}[/math]

[править] См. также

[править] Другие многогранники

[править] Другие формулы

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты