Формулы для правильного восьмиугольника

Правильный восьмиугольник (октагон)

Правильный восьмиугольник (октагон) — выпуклый многоугольник с 8 равными сторонами.

Определение[править]

Правильный восьмиугольник — восьмиугольник у которого все стороны и углы равны.

n — число сторон, n=8;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₈ — периметр правильного восьмиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₈ — площадь правильного восьмиугольника.

{\text{α}}={\frac {\text{π}}{8}}\Leftrightarrow {\text{α}}=22{\frac {1}{2}}^{\text{°}}

{\text{β}}={\frac {3{\text{π}}}{4}}\Leftrightarrow {\text{β}}=135^{\text{°}}

{\text{γ}}={\frac {\text{π}}{4}}\Leftrightarrow {\text{γ}}=45^{\text{°}}

r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{8}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{8}}}}\Leftrightarrow r=R\ cos{\frac {\text{π}}{8}}\Leftrightarrow r={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {2}})a\Leftrightarrow r={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}R

R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{8}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{8}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{8}}\Leftrightarrow R={\frac {1}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}a\Leftrightarrow R={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}r

P_{8}=8a

S_{8}=5a^{2}ctg{\frac {\text{π}}{8}}\Leftrightarrow S_{8}=8S_{\text{Δ}},\ S_{\text{Δ}}={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{8}}\Leftrightarrow S_{8}={\frac {1}{2}}P_{8}r\Leftrightarrow S_{8}=4ar\Leftrightarrow S_{8}=8r^{2}tg{\frac {\text{π}}{8}}\Leftrightarrow S_{8}=8R^{2}sin{\frac {\text{π}}{8}}cos{\frac {\text{π}}{8}}\Leftrightarrow S_{8}=4R^{2}sin{\frac {\text{π}}{4}}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow S_{8}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\Leftrightarrow S_{8}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\Leftrightarrow S_{8}=2{\sqrt {2}}R^{2}