Формулы для правильного восьмиугольника

Правильный восьмиугольник (октагон)

Правильный восьмиугольник (октагон) — выпуклый многоугольник с 8 равными сторонами.

Определение

Правильный восьмиугольник — восьмиугольник у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

n — число сторон, n=8;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₈ — периметр правильного восьмиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₈ — площадь правильного восьмиугольника.

Формулы

Половинный центральный угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{α}=\frac{\text{π}}{8}\Leftrightarrow\text{α}=22\frac{1}{2}^\text{°}}

Внутренний угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{β}=\frac{3\text{π}}{4}\Leftrightarrow\text{β}=135^\text{°}}

Центральный угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{γ}=\frac{\text{π}}{4}\Leftrightarrow\text{γ}=45^\text{°}}

Радиус вписанной окружности

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r=\frac{a}{2}ctg\frac{\text{π}}{8}\Leftrightarrow r=\frac{a}{2tg\frac{\text{π}}{8}}\Leftrightarrow r=R\ cos\frac{\text{π}}{8}\Leftrightarrow r=\frac{1}{2}(1+\sqrt{2})a\Leftrightarrow r=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}R}

Радиус описанной окружности

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=\frac{a}{2}\text{csc}\frac{\text{π}}{8}\Leftrightarrow R=\frac{a}{2sin\frac{\text{π}}{8}}\Leftrightarrow R=r\ sec\frac{\text{π}}{8}\Leftrightarrow R=\frac{1}{2}\sqrt{4+2\sqrt{2}}a\Leftrightarrow R=\sqrt{4-2\sqrt{2}}r}

Периметр

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{8}=8a}

Площадь

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{8}=5a^2ctg\frac{\text{π}}{8}\Leftrightarrow S_{8}=8S_\text{Δ},\ S_\text{Δ}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\text{π}}{8}\Leftrightarrow S_{8}=\frac{1}{2}P_{8}r\Leftrightarrow S_{8}=4ar\Leftrightarrow S_{8}=8r^2tg\frac{\text{π}}{8}\Leftrightarrow S_{8}=8R^2sin\frac{\text{π}}{8}cos\frac{\text{π}}{8}\Leftrightarrow S_{8}=4R^2sin\frac{\text{π}}{4}\Leftrightarrow}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Leftrightarrow S_{8}=2(1+\sqrt{2})a^2\Leftrightarrow S_{8}=8(\sqrt{2}-1)r^2\Leftrightarrow S_{8}=2\sqrt{2}R^2}

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.