Формулы для правильного десятиугольника

Правильный десятиугольник (декагон)

Правильный десятиугольник (декагон) — выпуклый многоугольник с 10 равными сторонами.

Определение[править]

Правильный десятиугольник — десятиугольник у которого все стороны и углы равны.

n — число сторон, n=10;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₁₀ — периметр правильного десятиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₁₀ — площадь правильного десятиугольника.

{\text{α}}={\frac {\text{π}}{10}}\Leftrightarrow {\text{α}}=18^{\text{°}}

{\text{β}}={\frac {4{\text{π}}}{5}}\Leftrightarrow {\text{β}}=144^{\text{°}}

{\text{γ}}={\frac {\text{π}}{5}}\Leftrightarrow {\text{γ}}=36^{\text{°}}

r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{10}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{10}}}}\Leftrightarrow r=R\ cos{\frac {\text{π}}{10}}\Leftrightarrow r={\frac {1}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}a\Leftrightarrow r={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}R

R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{10}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{10}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{10}}\Leftrightarrow R={\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})a\Leftrightarrow R={\frac {1}{5}}{\sqrt {50-10{\sqrt {5}}}}r

P_{10}=10a

S_{10}=5a^{2}ctg{\frac {\text{π}}{10}}\Leftrightarrow S_{10}=10S_{\text{Δ}},\ S_{\text{Δ}}={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{10}}\Leftrightarrow S_{10}={\frac {1}{2}}P_{10}r\Leftrightarrow S_{10}=5ar\Leftrightarrow S_{10}=10r^{2}tg{\frac {\text{π}}{10}}\Leftrightarrow S_{10}=10R^{2}sin{\frac {\text{π}}{10}}cos{\frac {\text{π}}{10}}\Leftrightarrow S_{10}=5R^{2}sin{\frac {\text{π}}{5}}

\Leftrightarrow S_{10}={\frac {5}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}a^{2}\Leftrightarrow S_{10}=2{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}r^{2}\Leftrightarrow S_{10}={\frac {5}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}R^{2}