Формулы для правильного шестнадцатиугольника

Правильный шестнадцатиугольник (гексадекагон)

Правильный шестнадцатиугольник (гексадекагон) — выпуклый многоугольник с 16 равными сторонами.

Определение[править]

Правильный шестнадцатиугольник — шестнадцатиугольник у которого все стороны и углы равны.

n — число сторон, n=16;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₁₆ — периметр правильного шестнадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₁₆ — площадь правильного шестнадцатиугольника.

{\text{α}}={\frac {\text{π}}{16}}\Leftrightarrow {\text{α}}=11{\frac {1}{4}}^{\text{°}}

{\text{β}}={\frac {7{\text{π}}}{8}}\Leftrightarrow {\text{β}}=157{\frac {1}{2}}^{\text{°}}

{\text{γ}}={\frac {\text{π}}{8}}\Leftrightarrow {\text{γ}}=22{\frac {1}{2}}^{\text{°}}

r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{16}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{16}}}}\Leftrightarrow r=R\ cos{\frac {\text{π}}{16}}

R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{16}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{16}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{16}}

P_{16}=16a

S_{16}=4a^{2}ctg{\frac {\text{π}}{16}}\Leftrightarrow S_{16}=16S_{\text{Δ}},\ S_{\text{Δ}}={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{16}}\Leftrightarrow S_{16}={\frac {1}{2}}P_{16}r\Leftrightarrow S_{16}=8ar\Leftrightarrow S_{16}=16r^{2}tg{\frac {\text{π}}{16}}\Leftrightarrow S_{16}=16R^{2}sin{\frac {\text{π}}{16}}cos{\frac {\text{π}}{16}}\Leftrightarrow S_{16}=8R^{2}sin{\frac {\text{π}}{8}}