Формулы для правильного n-угольника

Правильный n-угольник

Правильный n-угольник — выпуклый многоугольник с n равными сторонами.

Определение[править]

Правильный n-угольник — n-угольник у которого все стороны и углы равны.

n — число сторон;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P_n — периметр правильного n-угольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S_n — площадь правильного n-угольника.

{\text{α}}={\frac {\text{π}}{n}}\Leftrightarrow {\text{α}}={\frac {180^{\text{°}}}{n}}

{\text{β}}={\frac {(n-2){\text{π}}}{n}}\Leftrightarrow {\text{β}}=180^{\text{°}}-{\frac {360^{\text{°}}}{n}}

{\text{γ}}={\frac {2{\text{π}}}{n}}\Leftrightarrow {\text{γ}}={\frac {360^{\text{°}}}{n}}

r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{n}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{n}}}}\Leftrightarrow r=R\cos {\frac {\text{π}}{n}}

R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{n}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{n}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{n}}

P_{n}=na

S_{n}={\frac {na^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{n}}\Leftrightarrow S_{n}=nS_{\text{Δ}},\ S_{\text{Δ}}={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{n}}\Leftrightarrow S_{n}={\frac {1}{2}}P_{n}r\Leftrightarrow S_{n}={\frac {1}{2}}nar\Leftrightarrow S_{n}=nr^{2}tg{\frac {\text{π}}{n}}\Leftrightarrow S_{n}=nR^{2}sin{\frac {\text{π}}{n}}cos{\frac {\text{π}}{n}}\Leftrightarrow S_{n}={\frac {n}{2}}R^{2}sin{\frac {2{\text{π}}}{n}}