Формулы для правильного n-угольника

Правильный n-угольник

Правильный n-угольник — выпуклый многоугольник с n равными сторонами.

Определение

Правильный n-угольник — n-угольник у которого все стороны и углы равны.

Обозначения

n — число сторон;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P_n — периметр правильного n-угольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S_n — площадь правильного n-угольника.

Формулы

Половинный центральный угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{α}=\frac{\text{π}}{n}\Leftrightarrow \text{α}=\frac{180^\text{°}}{n}}

Внутренний угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{β}=\frac{(n-2)\text{π}}{n}\Leftrightarrow \text{β}=180^\text{°}-\frac{360^\text{°}}{n}}

Центральный угол

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{γ}=\frac{2\text{π}}{n}\Leftrightarrow \text{γ}=\frac{360^\text{°}}{n}}

Радиус вписанной окружности

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r=\frac{a}{2}ctg\frac{\text{π}}{n}\Leftrightarrow r=\frac{a}{2tg\frac{\text{π}}{n}}\Leftrightarrow r=R\cos\frac{\text{π}}{n}}

Радиус описанной окружности

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R=\frac{a}{2}\text{csc}\frac{\text{π}}{n}\Leftrightarrow R=\frac{a}{2sin\frac{\text{π}}{n}}\Leftrightarrow R=r\ sec\frac{\text{π}}{n}}

Периметр

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P_{n}=na}

Площадь

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{n}=\frac{na^2}{4}ctg\frac{\text{π}}{n}\Leftrightarrow S_{n}=nS_\text{Δ},\ S_\text{Δ}=\frac{a^2}{4}ctg\frac{\text{π}}{n}\Leftrightarrow S_{n}=\frac{1}{2}P_{n}r\Leftrightarrow S_{n}=\frac{1}{2}nar\Leftrightarrow S_{n}=nr^2tg\frac{\text{π}}{n}\Leftrightarrow S_{n}=nR^2sin\frac{\text{π}}{n}cos\frac{\text{π}}{n}\Leftrightarrow S_{n}=\frac{n}{2}R^2sin\frac{2\text{π}}{n}}

Другие многоугольники:

1. треугольник (тригон);
2. четырёхугольник (тетрагон);
3. пятиугольник (пентагон);
4. шестиугольник (гексагон);
5. семиугольник (гептагон);
6. восьмиугольник (октагон);
7. девятиугольник (эннеагон);
8. десятиугольник (декагон);
9. одиннадцатиугольник (гендекагон);
10. двенадцатиугольник (додекагон);
11. тринадцатиугольник (тридекагон);
12. четырнадцатиугольник (тетрадекагон);
13. пятнадцатиугольник (пентадекагон);
14. шестнадцатиугольник (гексадекагон);
15. семнадцатиугольник (гептадекагон);
16. восемнадцатиугольник (октадекагон);
17. девятнадцатиугольник (эннеадекагон);
18. двадцатиугольник (икосагон);
19. правильный n-угольник.