Формулы для правильного одиннадцатиугольника

Правильный одиннадцатиугольник (гендекагон)

Правильный одиннадцатиугольник (гендекагон) — выпуклый многоугольник с 11 равными сторонами.

Определение[править]

Правильный одиннадцатиугольник — одиннадцатиугольник у которого все стороны и углы равны.

n — число сторон, n=11;

a — длина стороны;

α — половинный центральный угол;

β — внутренний угол между соседними сторонами;

γ — центральный угол;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

P₁₁ — периметр правильного одиннадцатиугольника;

S_Δ — площадь равнобедренного треугольника с основанием равным стороне и боковыми сторонами равными радиусу описанной окружности;

S₁₁ — площадь правильного одиннадцатиугольника.

{\text{α}}={\frac {\text{π}}{11}}\Leftrightarrow {\text{α}}=16{\frac {4}{11}}^{\text{°}}

{\text{β}}={\frac {9{\text{π}}}{11}}\Leftrightarrow {\text{β}}=147{\frac {3}{11}}^{\text{°}}

{\text{γ}}={\frac {2{\text{π}}}{11}}\Leftrightarrow {\text{γ}}=32{\frac {8}{11}}^{\text{°}}

r={\frac {a}{2}}ctg{\frac {\text{π}}{11}}\Leftrightarrow r={\frac {a}{2tg{\frac {\text{π}}{11}}}}\Leftrightarrow r=R\ cos{\frac {\text{π}}{11}}

R={\frac {a}{2}}{\text{csc}}{\frac {\text{π}}{11}}\Leftrightarrow R={\frac {a}{2sin{\frac {\text{π}}{11}}}}\Leftrightarrow R=r\ sec{\frac {\text{π}}{11}}

P_{11}=11a

S_{11}={\frac {11a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{11}}\Leftrightarrow S_{11}=11S_{\text{Δ}},\ S_{\text{Δ}}={\frac {a^{2}}{4}}ctg{\frac {\text{π}}{11}}\Leftrightarrow S_{11}={\frac {1}{2}}P_{11}r\Leftrightarrow S_{11}={\frac {11}{2}}ar\Leftrightarrow S_{11}=11r^{2}tg{\frac {\text{π}}{11}}\Leftrightarrow S_{11}=11R^{2}sin{\frac {\text{π}}{11}}cos{\frac {\text{π}}{11}}\Leftrightarrow S_{11}={\frac {11}{2}}R^{2}sin{\frac {2{\text{π}}}{11}}